结论：在儿童被老师教唆打人的情况下，家长通常不直接承担法律责任，但需根据具体情况判断是否需承担一定责任，而老师和教育机构则可能需承担主要责任。以下从不同角度进行分析：
一、家长的责任分析
直接责任：
- 一般情况下，家长不直接对老师教唆儿童打人的行为负责。因为教唆行为是老师独立实施的，与家长无直接关联。
- 家长的责任主要在于对子女的教育和监护。如果家长已经尽到了合理的教育和监护义务，且无法预见或控制老师的行为，那么家长通常不承担法律责任。
间接责任：
- 如果家长发现子女有暴力倾向或行为异常，但未及时采取措施进行教育和纠正，导致子女在老师教唆下打人，那么家长可能因未尽到监护义务而承担一定的间接责任。但这种责任通常较轻，且需根据具体情况判断。
二、老师的责任分析
教唆行为：
- 老师作为教育工作者，有义务保护学生的身心健康和安全。教唆儿童打人不仅违反了职业道德，还可能构成违法行为。
- 根据相关法律法规，教唆他人实施侵权行为的，应当与行为人承担连带责任。因此，老师可能需对被打儿童及其家长承担民事赔偿责任。
教育机构责任：
- 教育机构作为老师的管理者，有义务对老师的行为进行监督和管理。如果教育机构未尽到管理义务，导致老师教唆儿童打人，那么教育机构也可能需承担一定的法律责任。
- 根据《中华人民共和国民法典》等相关法律法规，无民事行为能力人或者限制民事行为能力人在幼儿园、学校或者其他教育机构学习、生活期间，受到幼儿园、学校或者其他教育机构以外的第三人人身损害的，由第三人承担侵权责任；幼儿园、学校或者其他教育机构未尽到管理职责的，承担相应的补充责任。虽然此条款主要针对的是教育机构以外的第三人，但教育机构对内部员工（如老师）的管理不善，同样可能构成未尽到管理职责的情形。
三、法律建议
对于家长：
- 加强与子女的沟通，了解子女的行为和心理状况，及时发现并纠正子女的暴力倾向或行为异常。
- 如果发现子女被老师教唆打人，应立即与学校或教育机构沟通，要求学校或教育机构采取措施保护子女的权益，并考虑向相关部门投诉或寻求法律援助。
对于被打儿童及其家长：
- 及时收集证据，如医疗记录、监控视频等，以证明被打事实和伤害程度。
- 与打人儿童及其家长、学校或教育机构进行协商，寻求赔偿和解决方案。如果协商无果，可以考虑向法院提起诉讼，要求赔偿损失。
对于教育机构：
- 加强老师的管理和培训，提高老师的职业道德和法律意识，防止类似事件再次发生。
- 如果发生老师教唆儿童打人的事件，应立即采取措施保护受害儿童的权益，并积极配合相关部门进行调查和处理。
总结：在儿童被老师教唆打人的情况下，家长通常不直接承担法律责任，但需根据具体情况判断是否需承担一定责任。老师和教育机构则可能需承担主要责任。如果遇到此类问题，建议及时咨询专业律师以获取更具体的法律建议。