工厂通常不能随意开除受伤员工，但存在特定法定情形时可以解除劳动合同。以下是对这一问题的详细分析：

一、工伤员工受法律特殊保护

根据《中华人民共和国劳动合同法》第四十二条的规定，劳动者在本单位患职业病或者因工负伤并被确认丧失或者部分丧失劳动能力的，用人单位不得依据该法第四十条（无过失性辞退）、第四十一条（经济性裁员）的规定解除劳动合同。这意味着，在工伤治疗期间与停工留薪期内，员工因工作遭受事故伤害或患职业病需要暂停工作接受治疗的，其原工资福利待遇不变，由所在单位按月支付，且公司不得以工伤为由辞退员工。

二、工厂可合法解除劳动合同的情形

尽管工伤员工受到法律的特殊保护，但工厂在特定情况下仍可以解除劳动合同。这些情形主要包括：

1. 员工存在严重过错：如工伤员工在工伤期间旷工、故意违反安全操作规定等，且情节严重，达到单位规定可解除合同的标准。或者，工伤员工被依法追究刑事责任，如涉及犯罪行为并被法院判处刑罚。
2. 员工欺诈、胁迫或乘人之危订立劳动合同：例如，员工隐瞒严重疾病入职，后来被发现且与工伤无关，这种情况下工厂也可能解除劳动合同。
3. 员工严重失职、营私舞弊，给工厂造成重大损害：如利用工伤期间管理松懈的机会，私自挪用公款等。

三、工厂违法解除劳动合同的法律后果

如果工厂违法开除因公受伤的员工，员工有权要求工厂继续履行劳动合同；不要求继续履行或者劳动合同已经不能继续履行的，工厂应当按照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿的计算公式为：经济补偿=工作年限×月工资。其中，工作年限是指员工在工厂的工作年限，月工资是指员工在劳动合同解除或者终止前十二个月的平均工资。因此，赔偿金为经济补偿的两倍，即赔偿金=2×工作年限×月工资。

四、工伤员工的维权途径

1. 确认辞退行为是否违法：工伤员工应首先判断自己的辞退是否符合法律规定。若认为属于违法辞退，有权要求工厂继续履行劳动合同或主张赔偿金。
2. 确保工伤待遇：工伤员工应确保工厂已按规定为其申报工伤认定和劳动能力鉴定，并依鉴定等级获得相应的工伤赔偿，包括一次性伤残补助金、一次性工伤医疗补助金、一次性伤残就业补助金等。
3. 协商与仲裁：在维权过程中，工伤员工可先与工厂进行协商。协商不成时，应收集好劳动合同、工伤认定决定书等相关证据，向劳动争议仲裁委员会申请仲裁。对仲裁结果不服的，还可以向法院提起诉讼。

总结与建议：工厂在处理工伤员工的劳动关系时，必须严格遵守相关法律法规，确保工伤员工的合法权益不受侵害。同时，工伤员工也应了解自己的权益和维权途径，以便在必要时采取合适的行动来维护自己的合法权益。如果您或您身边的人遇到类似问题，可以直接向我咨询，我会根据具体情况为您提供专业的法律建议。