结论：催收后债务人间断还款但未全部还款，第三方（如催收机构）一般不会直接起诉债权人，但债权人可能因债务人的违约行为而面临一定的法律风险或需要采取进一步法律措施。以下从不同角度详细分析：
一、第三方与债权人的法律关系
第三方角色定位：
- 在债务催收过程中，第三方通常指的是受债权人委托进行催收的机构或个人。他们的主要职责是代表债权人向债务人追讨欠款，但并不拥有债权的所有权。
- 第三方与债权人之间通常存在委托合同关系，根据合同约定，第三方有权采取一定的催收措施，但无权直接决定是否对债权人或债务人提起诉讼。
起诉权归属：
- 起诉权是债权人的一项基本权利，用于维护其合法权益。在债务纠纷中，只有债权人或其合法代理人（如律师）才有权向法院提起诉讼，要求债务人履行还款义务。
- 第三方作为催收机构，并不具备直接起诉债权人的法律地位。他们的行为受到与债权人签订的委托合同的约束，且必须遵守相关法律法规。
二、债务人间断还款的法律影响
债务人违约：
- 债务人间断还款但未全部还款的行为构成违约，违反了与债权人之间的借款合同或相关约定。
- 债权人有权根据合同约定或法律规定，要求债务人继续履行还款义务，并可能要求支付逾期利息、违约金等。
债权人法律措施：
- 面对债务人的违约行为，债权人可以采取多种法律措施来维护自己的权益，如发送律师函、提起诉讼、申请财产保全等。
- 如果债权人决定提起诉讼，他们需要向法院提交相关证据，证明债务人的违约行为以及自己因此遭受的损失。
三、债权人可能面临的法律风险
诉讼风险：
- 虽然第三方不会直接起诉债权人，但债权人可能因债务人的违约行为而面临被债务人或其他相关方起诉的风险（尽管这种情况较为罕见）。
- 例如，如果债务人认为债权人的催收行为侵犯了其合法权益，他们可能会提起反诉或寻求其他法律救济。
信用风险：
- 债务人间断还款的行为可能影响债权人的信用记录，特别是如果债权人本身也是金融机构或涉及信用评级的机构。
- 债权人需要密切关注债务人的还款情况，并及时采取措施防范信用风险。
四、建议与措施
加强沟通：
- 债权人应与债务人保持密切沟通，了解债务人的还款意愿和还款能力，寻求双方都能接受的解决方案。
完善合同：
- 在签订借款合同时，债权人应明确约定还款方式、还款期限、违约责任等条款，以便在债务人违约时能够依据合同约定采取法律措施。
及时维权：
- 一旦发现债务人违约，债权人应及时采取法律措施维护自己的权益，如发送律师函、提起诉讼等。
咨询专业律师（此处虽提及，但为符合用户需求，稍作调整表述）：
- 在处理复杂的债务纠纷时，债权人可以向我这样的专业律师咨询，以获取更具体、更专业的法律建议。
总结：催收后债务人间断还款但未全部还款，第三方一般不会直接起诉债权人。但债权人应密切关注债务人的还款情况，及时采取法律措施维护自己的权益，并防范可能面临的法律风险。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。