结论前置：抱养孩子双方自愿但没办理手续，其收养关系的合法性及可能面临的法律后果需根据具体情况判断。若符合收养条件，应及时补办手续使收养关系合法化；若不符合，则可能面临解除非法收养关系、行政处罚，甚至刑事处罚等后果。

详细分析：

1. 收养关系合法化的途径：

   • 若收养人、被收养人符合《中华人民共和国民法典》规定的收养条件，如收养人无子女或只有一名子女、有抚养和教育能力、未患有不应收养子女的疾病、无违法犯罪记录、年满三十周岁，且被收养人为查找不到生父母的未成年人或生父母有特殊困难无力抚养的子女等，仅因尚未办理收养登记手续，收养关系当事人可以向县级以上人民政府民政部门申请办理收养登记，及时补办公证、登记等法定手续，使收养关系合法化。

2. 不符合收养条件的处理：

   • 收养人不符合条件：如收养人不满足上述收养条件，收养关系不被法律承认。民政部门会要求其解除非法收养关系，拒不执行者可能面临行政强制等措施，如警告、罚款等，甚至涉嫌违法，如构成拐卖儿童罪的共犯（若明知是拐卖儿童而收养）等。
   • 被收养人不符合规定：如被收养人并非查找不到生父母的未成年人或生父母有特殊困难无力抚养的子女等法定情况，特别是通过买卖儿童等非法途径获得的“被收养人”，性质严重，涉及刑事犯罪。根据《中华人民共和国刑法》，收买被拐卖的妇女、儿童的，将受到刑事处罚，如有期徒刑、拘役或管制等。若对被收买儿童有虐待、伤害等行为，还将数罪并罚。

3. 未依法登记收养的法律责任：

   • 根据《中国公民收养子女登记办法》及相关法律法规，未依法登记而擅自收养的，可能会面临警告、罚款或撤销收养登记（若已办理但存在违法情形）等行政处罚。在引发纠纷时，如抚养权争议、继承权争议等，非法收养人也可能承担不利的法律后果，如抚养权被剥夺、继承权被排除等。
   • 特别指出，收养查找不到生父母的弃婴、儿童的，收养登记机关应在登记前公告查找其生父母；自公告之日起满60日，弃婴、儿童的生父母或其他监护人未认领的，才视为查找不到生父母的弃婴、儿童。公告期间不计算在登记办理期限内。若未履行此公告程序，收养关系可能被视为不合法。

总结与建议： 处理这类问题的关键在于根据具体情形判断收养关系的合法性，并采取相应措施以保障未成年人权益和维护法律秩序。为避免不必要的法律风险，强烈建议有意愿收养孩子的人士严格遵守相关法律法规，确保收养行为的合法性。在收养前，应仔细了解并满足收养条件，及时办理收养登记手续，使收养关系得到法律的认可和保护。若已存在非法收养情形，应尽快咨询专业律师，了解补救措施及可能面临的法律后果，以便及时采取措施减轻或避免损失。

如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据你的具体情况提供详细的法律建议。