核心结论：幼儿园违法开除老师，需承担相应赔偿责任；劳动法对教师岗位的特殊保护主要体现在特定情形下不得解除劳动合同以及经济补偿的特殊规定等方面。以下为详细说明：
幼儿园违法开除老师的赔偿
- 违法解除劳动合同的赔偿金
根据《劳动合同法》第八十七条规定，用人单位违反本法规定解除或者终止劳动合同的，应当依照本法第四十七条规定的经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。
例如，老师在幼儿园工作了3年，月工资为5000元，若幼儿园违法开除老师，则需要支付赔偿金为\(5000×3×2 = 30000\)元。
- 其他可能的赔偿
如果因违法开除给老师造成了其他损失，如老师为了工作产生的合理费用（如培训费用、考证费用等），且这些费用与工作有直接关联且幼儿园有过错导致老师遭受损失的，老师可以要求幼儿园进行赔偿。不过，老师需要提供相应的证据来证明这些损失的存在以及与违法开除之间的因果关系。
劳动法对教师岗位的特殊保护
- 特定情形下不得解除劳动合同
- 患病或者非因工负伤，在规定的医疗期内的：教师在医疗期内，幼儿园不得依据《劳动合同法》第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。医疗期是指企业职工因患病或非因工负伤停止工作治病休息不得解除劳动合同的时限。医疗期的长度根据教师本人实际参加工作年限和在本单位工作年限确定，一般为三个月到二十四个月。
- 女职工在孕期、产期、哺乳期的：在这三个特殊时期，幼儿园不得以非过失性理由（如不能胜任工作等）或经济性裁员为由解除劳动合同。这是为了保护女教师的特殊权益，确保她们在生育期间能够得到必要的保障。例如，一位女教师在怀孕期间，即使其工作表现可能受到一定影响，幼儿园也不能以此为由开除她。
- 在本单位连续工作满十五年，且距法定退休年龄不足五年的：对于这类教师，幼儿园同样不得依据《劳动合同法》第四十条、第四十一条的规定解除劳动合同。这是考虑到这些教师为幼儿园做出了长期贡献，且临近退休，给予他们一定的职业稳定保障。
- 经济补偿的特殊规定（以部分地区教育行业集体合同或地方性法规为例）
在一些地区，教育行业的集体合同或者地方性法规可能会对教师的经济补偿标准作出比《劳动合同法》更优惠的规定。例如，某些地方规定，教师在幼儿园工作满一定年限后，除了按照《劳动合同法》规定的标准支付经济补偿外，还会额外给予一定比例的奖励性补偿。不过，这种特殊规定并非全国统一，具体要依据当地的政策法规来确定。
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