结论：学生自杀死亡后，公立学校是否需要请律师，需分情况讨论，主要取决于学校是否可能面临法律责任或纠纷。以下从不同角度展开说明：

1. 学校无过错，无需主动请律师
   若学生自杀系个人原因（如心理问题、家庭矛盾等），且学校已尽到教育、管理职责（如提供心理辅导、及时通知家长、未实施侵权行为等），则学校通常无需承担法律责任。此时，学校无需主动聘请律师，但需配合调查（如警方、教育部门），提供相关证据（如监控记录、学生心理档案、日常管理记录等）以证明自身无过错。

2. 学校可能存在过错，需聘请律师应对
   若学生自杀与学校管理疏漏存在因果关系（如未及时发现学生心理危机、未制止校园欺凌、设施存在安全隐患等），学校可能面临学生家属的索赔或行政处罚。此时，学校应立即聘请律师，主要目的包括：

   • 风险评估：律师可协助学校分析事件中的法律风险，判断是否构成侵权或违反《未成年人保护法》《学生伤害事故处理办法》等法规。
     
   • 证据固定：律师可指导学校收集、保存关键证据（如管理流程文件、教师培训记录、学生异常行为记录等），避免证据灭失。
     
   • 协商调解：若家属提出索赔，律师可代表学校参与协商，争取合理赔偿方案，避免纠纷升级。
     
   • 诉讼应对：若家属提起民事诉讼或行政诉讼，律师可代理学校应诉，维护学校合法权益。

3. 学校为预防风险，可提前聘请法律顾问
   即使未发生自杀事件，学校也可聘请律师作为常年法律顾问，协助完善管理制度（如制定心理危机干预预案、规范校园安全检查流程等），降低法律风险。

建议：若学校面临学生自杀事件，无论是否认为自身有过错，均可先向我咨询具体法律问题。我将根据事件细节（如学生年龄、自杀原因、学校管理行为等），为您提供专业分析，并制定应对方案。