违法行为被行政处罚后因涉及刑事犯罪被判刑，该行政处罚仍然可以行政诉讼。以下从多个角度对此问题进行分析：
一、行政处罚与刑事处罚的独立性
性质差异：
- 行政处罚是对尚未构成犯罪的一般违法行为给予的制裁，旨在纠正和制止违法行为，维护行政管理秩序。它主要由行政机关实施，如罚款、拘留等。
- 刑事处罚则是对犯罪行为给予的严厉惩罚，旨在打击犯罪，保护社会公共利益。它由司法机关（法院）判决，如有期徒刑、罚金等。
独立实施：
- 行政处罚与刑事处罚是两种独立的法律责任形式，它们之间不存在替代关系。即使一个行为已经受到了行政处罚，但如果其行为性质、情节和危害程度达到了犯罪的标准，仍然有可能被依法追究刑事责任并判处相应的刑罚。
二、行政诉讼的适用性
行政诉讼的定义：
- 行政诉讼是指公民、法人或者其他组织认为行政机关的行政行为侵犯其合法权益，依法向人民法院提起诉讼，由人民法院进行审理并作出裁决的制度。
行政处罚的诉讼性：
- 行政处罚作为行政机关的一种具体行政行为，如果公民、法人或者其他组织认为该行政处罚侵犯了其合法权益，当然可以依法提起行政诉讼。
刑事判决不影响行政诉讼：
- 即使违法行为人因涉及刑事犯罪被判刑，这并不影响其就之前受到的行政处罚提起行政诉讼。因为行政处罚与刑事处罚是两种独立的法律责任形式，它们之间不存在相互排斥的关系。
三、实际操作中的注意事项
诉讼时效：
- 提起行政诉讼需要注意诉讼时效的问题。根据《行政诉讼法》的规定，公民、法人或者其他组织直接向人民法院提起诉讼的，应当自知道或者应当知道作出行政行为之日起六个月内提出。法律另有规定的除外。
证据收集：
- 在提起行政诉讼前，需要收集充分的证据来支持自己的主张。这包括行政处罚决定书、相关证据材料等。
法律程序：
- 提起行政诉讼需要遵循一定的法律程序，如撰写起诉状、提交证据材料、参加庭审等。如果对这些程序不熟悉，可以寻求专业律师的帮助。
四、案例说明
以某销售假冒伪劣产品案为例，行为人首先因违规行为被市场监管部门处以罚款。但随后公安机关调查发现其销售金额已达到生产、销售伪劣产品罪的立案标准，于是将其移送检察机关审查起诉。最终，法院判处行为人有期徒刑并处罚金。在此情况下，如果行为人认为市场监管部门的罚款决定侵犯了其合法权益，仍然可以依法提起行政诉讼。
总结：违法行为被行政处罚后因涉及刑事犯罪被判刑，该行政处罚仍然可以行政诉讼。因为行政处罚与刑事处罚是两种独立的法律责任形式，它们之间不存在相互排斥的关系。如果公民、法人或者其他组织认为行政处罚侵犯了其合法权益，可以依法提起行政诉讼来维护自己的权益。如有更多疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。