刑事案件行政处罚后，当事人仍然可以提起行政诉讼，且若违法行为同时触犯刑法，仍可能面临刑事责任的追究。以下是对此问题的详细分析：

一、行政处罚后的行政诉讼权利

1. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国行政诉讼法》的相关规定，公民、法人或者其他组织对行政机关作出的行政处罚决定不服的，有权依法向人民法院提起行政诉讼。

2. 起诉条件：

   • 当事人应在法定的起诉期限内提出诉讼，若超过期限，法院可能不予受理。
   • 当事人需准备好相关证据，证明行政处罚存在违法或不合理之处，如事实认定错误、适用法律错误、程序违法等。
   • 当事人应向有管辖权的法院起诉，一般是作出行政处罚的行政机关所在地的基层法院。

3. 诉讼目的：

   • 当事人提起行政诉讼的目的是为了维护自身的合法权益，请求法院对行政处罚的合法性进行审查。

二、行政处罚与刑事责任的并存

1. 法律性质：

   • 行政处罚与刑事处罚是两种不同性质的制裁方式。行政处罚是行政机关对行政违法行为的制裁，而刑事处罚是司法机关对犯罪行为的惩处。

2. 并存情况：

   • 当行政违法行为同时构成犯罪时，不能以行政处罚代替刑事处罚。若行政机关在查处过程中发现违法行为涉嫌犯罪，应将案件移送司法机关。司法机关经审查认定构成犯罪的，会依法追究刑事责任。

3. 处罚折抵：

   • 在实际处理中，行政处罚中的罚款可折抵刑事处罚中的罚金，行政拘留可折抵相应刑期。例如，某人因同一行为被行政机关处以罚款和行政拘留，之后被追究刑事责任，已缴纳的罚款可折抵罚金，已执行的行政拘留期限可折抵相应的拘役或有期徒刑刑期。

三、具体案例与法律建议

1. 案例说明：

   • 假设某人因醉酒驾车被行政机关处以行政处罚，如罚款和暂扣驾驶证。若后续查明该行为构成危险驾驶罪，司法机关将依法追究其刑事责任，可能判处拘役并处罚金的刑罚。此时，已缴纳的罚款可折抵罚金，但拘役的刑期需另行执行。

2. 法律建议：

   • 当事人在收到行政处罚决定后，应仔细审查处罚决定的合法性和合理性。若认为处罚存在违法或不合理之处，应及时在法定期限内提起行政诉讼。
   • 若行政违法行为同时构成犯罪，当事人应积极配合司法机关的调查和审判工作，依法承担刑事责任。同时，可咨询专业律师以了解自身的权利和义务。

总结来看，刑事案件行政处罚后，当事人仍然可以提起行政诉讼以维护自身的合法权益。同时，若违法行为同时触犯刑法，当事人仍可能面临刑事责任的追究。因此，当事人在处理此类问题时，应充分了解自身的法律权利和义务，并咨询专业律师以获取更全面的法律帮助。如有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。