结论前置：网络赌博被抓判刑六个月，说明已经构成了犯罪并被法院判处了刑罚，这种情况下是会留下案底的。
详细分析：
网络赌博的犯罪构成：
- 根据《中华人民共和国刑法》第三百零三条，以营利为目的，聚众赌博或者以赌博为业的，构成赌博罪。开设赌场的，也构成犯罪，且处罚更为严厉。网络赌博，作为赌博的一种形式，同样受到法律的制裁。
刑事处罚与案底的关系：
- 一旦被法院判定构成犯罪并受到刑事处罚，如有期徒刑、拘役、管制等，该犯罪记录将被永久保存，形成所谓的“案底”。这种记录对个人及其家属在就业、入伍、报考公务员等方面都会产生严重影响。特别是子女在报考某些特殊岗位的公务员时，政审环节可能因直系亲属的犯罪记录而受到不利影响。
具体案例分析：
- 在您提到的案例中，网络赌博被抓并被判刑六个月，这明确表明了该行为已经构成了犯罪，并受到了刑事处罚。因此，这种情况下是会留下案底的。
行政处罚与刑事处罚的区别：
- 值得注意的是，如果网络赌博行为情节较轻，未构成犯罪，那么可能只会受到行政处罚，如拘留、罚款等。这种情况下，虽然会有违法记录留存于公安机关的档案系统，但这种记录并不等同于“案底”，对个人的影响也相对较小。然而，在您提到的案例中，由于已经构成了犯罪并受到了刑事处罚，所以这一区别并不适用。
法律建议：
- 网络赌博不仅违法，而且可能引发严重的法律后果。一旦构成犯罪，不仅个人会受到刑事处罚，还会对家庭成员产生长远的影响。因此，我强烈建议远离任何形式的赌博行为，包括网络赌博。
- 如果您或您身边的人已经陷入了网络赌博的困境，我建议尽快停止赌博行为，并寻求专业的法律帮助。作为专业律师，我可以为您提供详细的法律咨询和辩护服务，帮助您应对可能面临的法律后果。
总结：
网络赌博被抓判刑六个月是会留下案底的。这种记录对个人及其家庭成员在多个方面都会产生严重影响。因此，我再次强调远离赌博行为的重要性，并建议您在面临法律问题时及时寻求专业的法律帮助。如果您有任何疑问或需要进一步的法律咨询，请直接向我提问。