当私下达成和解协议后对方不履行时，您可以通过以下法律途径来维护自己的合法权益：

1. 发送催款函或进行协商沟通

   • 重要性：首先，以书面形式向对方发送催款函或协商函是维护权益的初步且重要步骤。这不仅能给予对方一个改正的机会，还能为后续法律行动保留关键的书面证据。
   • 内容要点：催款函应详细列明和解协议的基本条款、对方未履行的具体事项、明确的履行期限，以及不履行可能带来的法律后果。例如，如果和解协议中约定对方应在某日前支付一定金额，但对方未支付，催款函中就应明确指出这一点，并设定一个新的合理履行期限，同时告知对方若不履行将采取的法律措施。

2. 申请人民调解委员会介入调解

   • 适用情况：若双方争议仍适合通过调解解决，且均愿意接受第三方中立调解，可向当地人民调解委员会提出调解申请。
   • 调解流程与效力：人民调解委员会将安排专业调解员进行调解，听取双方意见后提出调解方案。一旦达成新的调解协议，该协议具有合同效力，双方需严格履行。例如，如果双方因和解协议中的某些条款存在争议，调解员可以提出一个双方都能接受的修改方案，并促成双方签订新的调解协议。

3. 申请支付令（针对金钱给付类和解协议）

   • 适用条件：对于涉及金钱给付且债权债务关系清晰、合法的和解协议，债权人可直接向有管辖权的基层人民法院申请支付令。
   • 申请与执行：提交申请书及相应证据后，法院经审查确认债权债务关系无误，将在规定时间内发出支付令。债务人需在收到支付令后一定期限内清偿债务或提出异议。如未提出异议且不履行，债权人可申请强制执行。例如，如果和解协议中约定对方应支付您一定金额的赔偿款，但对方未支付，您就可以向法院申请支付令，要求对方支付该金额。

4. 提起民事诉讼

   • 确定管辖法院：根据《民事诉讼法》规定，一般由被告住所地法院管辖，但合同中有特别约定或从法定规则确定合同履行地的除外。
   • 诉讼准备：精心准备起诉状和证据材料，起诉状需明确原被告信息、诉讼请求、事实与理由、证据清单等。证据材料应涵盖和解协议及对方未履行的相关证明。例如，您需要准备和解协议的原件或复印件、对方未履行的相关证据（如转账记录、聊天记录等）。
   • 审理与判决：法院受理案件后将按法定程序审理，包括开庭准备、庭审举证质证、辩论等环节。最终，法院将依据事实和法律作出公正判决。
   • 强制执行：若判决生效后对方仍未履行，胜诉方可向法院申请强制执行。法院将采取多种强制措施，如冻结账户、查封财产等，以确保权益得到实现。

综合建议：

• 在整个过程中，务必妥善保存所有与和解协议及对方不履行行为相关的证据，这些证据将是您维护权益的关键。
• 面对不履行和解协议的情况，及时采取行动，通过法律途径维护自身合法权益。不要因为对方的不履行而放弃自己的权益，法律是保护您权益的有力武器。

如果您在处理此类问题时遇到任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供个性化的法律建议。