结论：当事人不上诉，并不意味着刑法执行直接开始且不计算上诉期。实际上，上诉期是法定的，无论当事人是否上诉，上诉期都会正常计算。只有在上诉期满且当事人未提出上诉后，判决才会生效，进而可能进入执行阶段。
详细解释：
上诉期的法定性：
- 根据《中华人民共和国刑事诉讼法》的相关规定，被告人、自诉人和他们的法定代理人，不服地方各级人民法院第一审的判决、裁定，有权用书状或者口头向上一级人民法院上诉。被告人的辩护人和近亲属，经被告人同意，可以提出上诉。上诉期是法定的，通常为判决书送达之日起后的十日内，或者裁定书送达之日起后的五日内。这个期限是固定的，不会因为当事人是否上诉而改变。
上诉期与判决生效的关系：
- 在上诉期内，当事人有权提出上诉。如果当事人在上诉期内提出了上诉，那么一审判决就不会立即生效，而是需要等待二审法院的判决结果。
- 如果当事人在上诉期内没有提出上诉，那么上诉期满后，一审判决就会生效。判决生效后，如果判决中涉及刑罚的执行，那么才会进入执行阶段。
执行阶段的开始：
- 执行阶段的开始并不是以当事人是否上诉为标志的，而是以判决生效为标志的。只有判决生效后，且判决中明确规定了需要执行的刑罚，才会开始执行。
- 在执行阶段，如果当事人对执行有异议，还可以依法提出执行异议或者申请再审等法律救济途径。
举例说明：
假设一个刑事案件的一审判决在某日作出，并送达给了当事人。根据法律规定，当事人有十日的上诉期。如果当事人在这十日内没有提出上诉，那么十日后一审判决就会生效。如果判决中规定了需要执行的刑罚，比如有期徒刑、罚金等，那么就会在判决生效后开始执行。
建议：
- 如果您或您身边的人涉及刑事案件，且对判决结果有异议，建议在上诉期内及时提出上诉，以维护自己的合法权益。
- 如果对判决结果没有异议，或者错过了上诉期，那么应该尊重判决结果，并按照判决要求履行相关义务。如果有任何疑问或困难，可以及时向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。