核心结论：若想了解被打还手后对方住院的伤情鉴定情况，可通过申请重新鉴定、向公安机关了解、关注鉴定意见通知等途径，同时要注意不同阶段和情况下的处理方式。以下是具体分析：

从申请重新鉴定角度

1. 申请条件与时机：如果认为对方的伤情鉴定结果不公正、不准确，在符合法定条件时可以申请重新鉴定。一般来说，在收到伤情鉴定意见后，如果对鉴定意见有异议，可以在规定时间内（通常是收到鉴定意见之日起三日内）向公安机关提出重新鉴定的申请。
2. 申请主体与流程：通常由办案机关（一般是公安机关）决定是否准许重新鉴定。如果是自己作为当事人申请，需要向办案机关提交书面申请，说明申请重新鉴定的理由，比如认为鉴定程序违法、鉴定依据不足、鉴定方法不科学等。办案机关审查后，认为有必要的，会委托其他有资质的鉴定机构进行重新鉴定。

从向公安机关了解角度

1. 案件进展关联：因为对方住院并进行伤情鉴定通常是在公安机关办理的治安案件或刑事案件框架内进行的。所以可以向处理该案件的公安机关了解情况。在案件办理过程中，公安机关会依法收集、固定相关证据，包括伤情鉴定意见。
2. 沟通方式与注意事项：可以以书面或者口头的形式向办案民警咨询。在咨询时，要表明自己的身份（案件当事人或者相关人员），说明想了解对方伤情鉴定情况的目的。不过，公安机关可能会根据案件的具体情况，比如是否涉及案件侦查秘密等，决定是否向你全面透露伤情鉴定的详细内容。如果案件还在侦查阶段，可能不会向你提供过多的细节。

从关注鉴定意见通知角度

1. 通知义务与内容：根据法律规定，公安机关在收到伤情鉴定意见后，有义务将鉴定意见告知相关当事人。所以，要留意公安机关的通知。通知内容一般会包括鉴定的结果（比如是轻微伤、轻伤还是重伤）、鉴定的依据、鉴定的机构等信息。
2. 收到通知后的行动：如果对通知中的伤情鉴定意见有疑问或者异议，要及时按照前面提到的申请重新鉴定的流程进行操作。同时，要注意保存好公安机关送达的通知等相关文件，这些文件在后续可能的纠纷处理中可能会作为重要证据。

特殊情况处理

1. 对方恶意住院扩大损失：如果怀疑对方是恶意住院，故意夸大伤情以获取更多的赔偿或者达到其他不正当目的，要注意收集相关证据。比如，可以关注对方住院期间的用药情况、治疗项目是否与伤情相符等。如果发现有不合理的地方，可以向公安机关反映，也可以在后续的民事赔偿诉讼中作为抗辩理由。
2. 涉及刑事案件的情况：如果对方的伤情经鉴定达到轻伤及以上级别，案件可能会转化为刑事案件。在这种情况下，伤情鉴定意见将作为重要的定罪量刑证据。此时，更要重视对伤情鉴定情况的了解，必要时申请重新鉴定，以维护自己的合法权益。