结论：单位在您向劳动局投诉后发信息让您为自己的行为负责，是否构成威胁需结合具体信息内容、发送背景及单位意图综合判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、从信息内容判断
若信息内容明确带有威胁性语言：
- 如“你投诉了，我们不会放过你”、“小心你的家人”等明显带有恐吓、胁迫意味的言辞，这很可能构成威胁。根据《治安管理处罚法》第四十二条，写恐吓信或者以其他方法威胁他人人身安全的，可处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可以并处五百元以下罚款。
若信息内容较为模糊，但结合上下文可推断出威胁意图：
- 例如，单位在发送信息前与您有过争执，或您投诉的内容涉及单位重大利益，且信息中提到“你会为自己的行为付出代价”等，虽未直接威胁，但结合背景可推断出单位有威胁您的意图。这种情况下，虽不一定直接构成治安违法，但可能构成劳动法上的不当行为，您有权向劳动监察部门进一步反映。
二、从发送背景判断
若信息是在您投诉后立即发送，且单位此前未与您有过类似沟通：
- 这可能表明单位是在对您投诉行为作出反应，试图通过威胁来阻止您继续维权。这种情况下，信息的威胁性更明显，您应保留好相关证据，如短信、聊天记录等，以备后续维权使用。
若信息是在您投诉后一段时间发送，且单位此前已与您就投诉事项进行过沟通：
- 这可能只是单位在沟通中的一种强硬态度表达，未必直接构成威胁。但即便如此，单位也不应以这种方式与您沟通，您仍有权向劳动监察部门反映单位的不当行为。
三、从单位意图判断
若单位意图是阻止您继续维权或迫使您撤回投诉：
- 这明显构成对您的威胁和干涉，您应坚决维护自己的合法权益，不受单位威胁影响。同时，您可以将此情况作为单位违法行为的证据之一，在劳动仲裁或诉讼中提出。
若单位意图只是表达对您投诉行为的不满或警告：
- 虽然这种意图可能不构成直接的威胁，但单位仍应以合法、合理的方式与您沟通，表达不满或警告。您有权要求单位以书面形式说明其意图，并保留好相关证据。
四、法律建议
保留证据：无论信息是否构成威胁，您都应保留好相关证据，如短信、聊天记录、邮件等，以备后续维权使用。
向劳动监察部门反映：如果您认为单位的信息构成威胁或不当行为，可以向当地劳动监察部门反映情况，要求其介入调查并处理。
考虑法律途径：如果单位的行为严重侵犯了您的合法权益，如构成诽谤、侮辱或威胁等，您可以考虑通过法律途径维护自己的权益，如向法院提起诉讼或申请劳动仲裁等。
最后，面对单位的不当行为，您应保持冷静和理智，不要因单位的威胁而放弃自己的合法权益。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。