结论：在继母和亲生子女因抚恤金产生纠纷时，一般不能直接起诉发放单位，但可以根据具体情况，通过法律途径解决纠纷，包括起诉其他相关责任方或申请仲裁等。

分析说明：

1. 抚恤金的性质与发放对象：

   • 抚恤金是国家或单位对特定人员（如因公牺牲、病故的职工的家属）发放的一种经济补偿，旨在抚慰家属的精神痛苦和提供一定的经济支持。
   • 抚恤金的发放对象通常是符合特定条件的家属，包括配偶、子女、父母等。在继母与亲生子女之间，如果继母与死者形成了法律上的扶养关系，那么继母也可能成为抚恤金的发放对象之一。

2. 纠纷的性质与解决途径：

   • 当继母和亲生子女之间因抚恤金产生纠纷时，这本质上是一种家庭内部的财产分配纠纷，而非与发放单位之间的直接法律关系纠纷。
   • 因此，一般情况下，不能直接起诉发放单位要求解决抚恤金分配问题。发放单位只是根据相关规定和程序，将抚恤金发放给符合条件的家属，并不涉及家属之间的内部分配问题。

3. 可能的法律途径：

   • 协商：继母和亲生子女可以首先尝试通过协商的方式解决抚恤金分配问题，达成一致意见后，可以签订书面协议明确各自的权利和义务。
   • 调解：如果协商不成，可以寻求第三方调解机构的帮助，如人民调解委员会等，通过调解的方式解决纠纷。
   • 诉讼：如果调解也不成功，那么继母或亲生子女可以向人民法院提起诉讼，要求法院对抚恤金分配问题进行判决。在诉讼过程中，需要提供充分的证据证明自己的主张，如与死者的关系证明、抚恤金发放的相关规定等。
   • 仲裁（如适用）：在某些特定情况下，如果双方之前有仲裁协议或者相关法律法规规定可以仲裁解决此类纠纷，那么也可以选择仲裁的方式解决。

行动建议：

• 在处理此类纠纷时，建议继母和亲生子女保持冷静和理性，通过合法途径解决纠纷，避免采取过激行为或非法手段。
• 如果对抚恤金分配问题存在疑问或不确定如何处理，建议咨询专业律师的意见，以便更好地维护自己的合法权益。

法律背景：

• 根据《中华人民共和国民法典》等相关法律法规的规定，家庭成员之间因财产分配产生的纠纷，应当通过协商、调解、诉讼等合法途径解决。
• 抚恤金的发放和管理也受到相关法律法规的规范，发放单位应当按照规定的程序和标准进行发放，不得擅自改变发放对象或金额。