当合同到期但对方未支付款项时，您可以按照以下详细且有条理的步骤来妥善处理这一问题：
一、核实合同条款与自身履行情况
检查合同内容：
- 仔细审查合同中关于付款的具体条款，包括付款时间、方式、金额以及违约责任等，确保自身权益有明确的法律依据。
- 确认合同中是否有关于逾期付款的罚息或违约金等约定，以便在后续沟通或法律程序中主张。
确认自身履行情况：
- 回顾自己是否已完全按照合同约定履行了义务，如提供了符合质量标准的服务或交付了符合合同约定的货物等。
- 收集并保留所有与合同履行相关的文件，如合同文本、交货凭证、服务记录、发票、对账单等，以备后续可能的法律程序使用。
二、友好协商沟通
主动联系对方：
- 在发现对方未按期付款后，应尽快通过邮件、电话或其他书面形式与对方联系，明确表达您的诉求和关切。
- 尝试了解对方未付款的具体原因，看是否存在误解或可协商的空间。
提出解决方案：
- 根据对方的反馈，提出合理的付款计划或延期请求，如分期付款、延长付款期限等，以寻求双方都能接受的解决方案。
- 强调继续合作的重要性，并表达愿意在合理范围内给予对方一定的宽限期。
保留沟通记录：
- 务必保留所有与对方的沟通记录，包括邮件、短信、通话录音等，以证明您已多次催促对方付款，并尝试通过协商解决问题。
三、发送正式催款通知或律师函
催款通知：
- 如果友好协商无果，可以准备一份正式的催款通知，明确指出欠款金额、逾期天数、违约责任及可能采取的法律措施。
- 通过邮政EMS等有签收记录的快递方式寄送催款通知，并妥善保管寄送凭证，以证明对方已收到催款通知。
律师函：
- 若催款通知仍未奏效，可考虑委托律师发送律师函。律师函具有更强的法律效力，能够向对方施加更大的压力，并表明您已采取法律手段维护自身权益的决心。
四、考虑法律途径解决
申请仲裁（如适用）：
- 如果合同中约定了仲裁条款，且双方无法就争议达成一致，可以向约定的仲裁机构申请仲裁。仲裁结果通常具有终局性，且执行效率较高。
提起诉讼：
- 若没有仲裁条款或仲裁无法解决争议，可以向有管辖权的人民法院提起诉讼。在诉讼过程中，需要提供充分的证据证明对方违约的事实以及您因此遭受的损失。
- 准备起诉材料时，应包括合同文本、履行证明、催款记录、沟通记录等所有相关证据。
财产保全（如必要）：
- 为防止对方转移财产导致判决难以执行，可以在起诉前或诉讼中向法院申请财产保全措施。财产保全可以冻结对方的银行账户、查封其财产等，确保判决能够得到有效执行。
五、关注诉讼时效与执行问题
注意诉讼时效：
- 根据《中华人民共和国民法典》的规定，向人民法院请求保护民事权利的诉讼时效期间为三年。因此，务必在诉讼时效内主张权利，以免丧失胜诉权。
执行判决：
- 获得胜诉判决后，如果对方仍不履行付款义务，可以申请法院强制执行。法院有权采取多种执行措施，如查询、冻结、划拨被申请执行人的存款，扣留、提取被申请执行人的收入，查封、扣押、拍卖、变卖被申请执行人的财产等。
- 在执行过程中，需保持与执行法官的沟通，及时提供被执行人财产线索，推动案件顺利执结。
综上所述，当合同到期但对方未支付款项时，您应首先核实合同条款与自身履行情况，然后尝试友好协商沟通。如果协商无果，可以发送正式催款通知或律师函。若仍无法解决问题，可以考虑通过法律途径解决，并关注诉讼时效与执行问题。希望这些建议能对您有所帮助。