劳务派遣员工应向劳务派遣单位索要经济补偿金，但在特定情况下，用工单位也可能需承担连带支付责任。以下是对这一问题的详细分析：

一、劳务派遣单位支付经济补偿金的情形

劳务派遣单位是劳动者的用人单位，与劳动者建立了直接的劳动关系。根据《中华人民共和国劳动合同法》及相关规定，在以下情形下，经济补偿金应由劳务派遣单位支付：

1. 合法解除或终止劳动合同：当劳务派遣单位与被派遣劳动者合法解除或终止劳动合同时，如劳动合同期满终止固定期限劳动合同（除用人单位维持或者提高劳动合同约定条件续订劳动合同，劳动者不同意续订的情形外）、用人单位被依法宣告破产等，劳务派遣单位应当向劳动者支付经济补偿。经济补偿按劳动者在本单位工作的年限计算，每满一年支付一个月工资的标准向劳动者支付；六个月以上不满一年的，按一年计算；不满六个月的，向劳动者支付半个月工资的经济补偿。

2. 违法解除或终止劳动合同：若劳务派遣单位违反《中华人民共和国劳动合同法》规定解除或终止劳动合同，根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十七条，劳务派遣单位应当依照经济补偿标准的二倍向劳动者支付赔偿金。

二、用工单位与劳务派遣单位承担连带支付责任的情形

在特定情况下，用工单位也可能需承担连带支付经济补偿金的责任。这主要包括以下两种情形：

1. 用工单位存在过错：当用工单位存在过错，对被派遣劳动者造成损害，并导致劳动合同解除时，用工单位应与劳务派遣单位承担连带支付经济补偿金的责任。例如，用工单位违反法律规定将被派遣劳动者再派遣到其他用人单位，或损害劳务派遣人员合法权益等情形。

2. 特别约定的情形：如果劳务派遣单位与用工单位之间的协议中有关于经济补偿金承担的特别约定，并且该约定不违反法律法规的强制性规定，那么在符合约定条件时，用工单位也可能需要按照约定分担部分或全部经济补偿金。

三、实际操作建议

1. 明确责任主体：在劳务派遣关系中，劳动者应首先明确经济补偿金的支付主体。在大多数情况下，劳务派遣单位是经济补偿金的支付主体。但在用工单位存在过错或双方有特别约定的情形下，用工单位也可能需承担连带支付责任。

2. 保留证据：劳动者应保存与劳务派遣单位和用工单位之间的劳动合同、派遣协议、工资支付记录、退回通知等相关证据，以便在需要时证明自己的权益。

3. 协商与投诉：若劳动者认为自己的权益受到侵害，应先与劳务派遣单位和用工单位协商解决。若协商未果，可向当地劳动监察部门投诉或申请劳动仲裁。

4. 法律救济途径：对仲裁结果不服的，劳动者可向法院提起诉讼，要求劳务派遣单位或用工单位承担经济补偿金支付责任。

总结来说，劳务派遣员工应向劳务派遣单位索要经济补偿金，但在用工单位存在过错或双方有特别约定的情形下，用工单位也可能需承担连带支付责任。劳动者在维护自己权益时，应明确责任主体、保留证据、协商与投诉，并在必要时寻求法律救济。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。