劳务派遣工在满足特定条件下，可以向劳务派遣单位申请签订无固定期限劳动合同。这一结论基于《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，以下从多个角度进行详细分析：
一、法定条件下的无固定期限劳动合同签订
连续工作满十年：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条第二款第一项，若劳务派遣工在同一家劳务派遣单位连续工作满十年，且劳动者提出或者同意续订、订立劳动合同的，除劳动者提出订立固定期限劳动合同外，应当订立无固定期限劳动合同。
- 这里的“连续工作满十年”是指劳动者在同一用人单位（即劳务派遣单位）的累计工作年限，而非在用工单位的工作年限。
初次实行劳动合同制度或国有企业改制：
- 若用人单位初次实行劳动合同制度或者国有企业改制重新订立劳动合同时，劳务派遣工在该用人单位连续工作满十年且距法定退休年龄不足十年的，同样应当订立无固定期限劳动合同。
- 这一条件主要针对的是特定历史背景下的用工情况，如国有企业改制等。
连续订立二次固定期限劳动合同：
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第十四条第二款第三项，若劳务派遣单位与被派遣劳动者连续订立二次固定期限劳动合同，且劳动者没有《中华人民共和国劳动合同法》第三十九条和第四十条第一项、第二项规定的情形（如严重违反规章制度、不能胜任工作等），续订劳动合同的，应当订立无固定期限劳动合同。
二、劳务派遣单位的义务与责任
- 根据《中华人民共和国劳动合同法》第五十八条，劳务派遣单位是用人单位，应当履行用人单位对劳动者的义务。
- 这意味着劳务派遣单位不仅需与被派遣劳动者订立二年以上的固定期限劳动合同（初次订立时），还需按月支付劳动报酬，并在被派遣劳动者无工作期间，按照所在地人民政府规定的最低工资标准，向其按月支付报酬。
- 当劳务派遣工满足签订无固定期限劳动合同的条件时，劳务派遣单位有义务与其签订无固定期限劳动合同。
三、签订无固定期限劳动合同的意义
- 对于劳务派遣工而言，无固定期限劳动合同提供了更稳定的职业保障，减少了因合同到期而可能面临的工作不确定性。
- 对于劳务派遣单位而言，签订无固定期限劳动合同有助于建立稳定的用工关系，提高员工忠诚度和工作效率，从而实现双赢。
四、实际操作中的注意事项
- 劳务派遣工在申请签订无固定期限劳动合同时，应确保自己满足上述法定条件，并准备好相关证据材料（如工作年限证明、劳动合同等）。
- 劳务派遣单位在收到申请后，应认真审核申请人的资格和条件，并依法作出决定。若拒绝签订无固定期限劳动合同，应给出合理的理由和依据。
总结与建议：
劳务派遣工在满足特定条件下，完全有权向劳务派遣单位申请签订无固定期限劳动合同。这一规定不仅体现了法律对劳动者权益的保护，也促进了劳务派遣市场的健康发展。若您作为劳务派遣工，认为自己满足签订无固定期限劳动合同的条件，但劳务派遣单位拒绝签订或未给予明确答复，建议您及时咨询专业律师（即我本人），以维护自己的合法权益。