保险公司在以下特定情况下不会行使代位赔偿（即代位求偿权）的权利：

一、保险事故并非由第三者的行为引起

代位求偿权的核心前提是保险事故的发生必须是由第三者的行为导致的，且该第三者对保险标的的损失负有赔偿责任。若保险事故是由被保险人自身原因、不可抗力（如自然灾害、社会事件等非人为可控因素）等非第三者行为造成，那么保险公司就无法向第三者进行代位求偿。例如，若车辆因自然灾害如洪水受损，且没有第三方责任，那么保险公司赔付后，不会向任何第三方追偿。

二、被保险人已放弃对第三者的赔偿权利

在保险事故发生前或赔付保险金前，如果被保险人已经明确放弃对第三者请求赔偿的权利，那么保险公司通常不会承担赔偿保险金的责任，自然也无法行使代位求偿权。这是因为被保险人的弃权行为直接切断了保险公司向第三者追偿的可能性。不过，若保险公司在不知情的情况下已经给付了保险金，那么它有权在被保险人放弃的权益范围内向第三者主张代位求偿权，并同时要求被保险人返还相应的保险金。

三、涉及被保险人的家庭成员或雇员的（非故意）行为

被保险人的家庭成员或雇员通常与被保险人具有共同的利益关系。除非这些人员是故意造成保险事故，否则保险公司不得对被保险人的家庭成员或者其雇员行使代位求偿权。这一规定旨在维护家庭关系的稳定和避免不必要的追偿纠纷。例如，若家庭成员在驾驶被保险车辆时不慎发生事故，且非故意行为，那么保险公司赔付后，不会向该家庭成员追偿。

四、特定合同关系的限制

在某些特殊合同中，如人寿保险合同，由于保险标的是人的生命和健康，其价值无法用金钱来衡量，因此不存在由第三者赔偿的问题。这类合同不适用代位求偿权。此外，对于某些性质特殊的财产损失（如因盗窃而造成的财产损失，但特定情况下可能受其他法律条款调整），即使第三者对保险事故的发生负有责任，保险公司也可能不能向其行使代位求偿权。

五、损失不属于保险责任范围

对于不属于保险责任范围内的损失，即使是由第三者的过失造成的，保险公司也没有代位求偿的权利。因为这部分损失并不属于保险合同的保障范围，保险公司无权进行追偿。例如，若保险合同中明确排除了某些特定类型的损失，那么对于这些损失，保险公司赔付后不会向第三者追偿。

六、合同另有约定

如果保险合同中明确约定保险公司不得行使代位求偿权，那么保险公司应按照合同约定执行。保险合同是双方意思自治的体现，只要合同约定不违反法律法规的强制性规定，双方都应当遵守。

综上所述，保险公司在行使代位求偿权时，必须严格遵守法律法规和合同条款的规定。在上述特定情况下，保险公司不会行使代位赔偿的权利。