结论：公司欠款时，供应商能否起诉工厂经营者，需根据工厂的组织形式及债务性质来判断。以下分情况详细说明：

1. 若工厂为公司制企业（如有限责任公司、股份有限公司）

   • 法律背景：根据《公司法》第三条，公司是企业法人，拥有独立的法人财产，并以其全部财产对公司债务承担责任。股东（包括经营者）仅以其认缴的出资额或认购的股份为限对公司承担责任。
   • 法律建议：在此情况下，供应商应起诉公司本身，而非直接起诉工厂经营者。除非经营者存在滥用公司法人独立地位和股东有限责任，逃避债务，严重损害公司债权人利益的行为（如财产混同、过度支配与控制等），此时根据《公司法》第二十条，供应商可要求经营者对公司债务承担连带责任。但这一举证责任较重，需充分证据支持。

2. 若工厂为个人独资企业

   • 法律背景：根据《个人独资企业法》第二条，个人独资企业由一个自然人投资，财产为投资人个人所有，投资人以其个人财产对企业债务承担无限责任。
   • 法律建议：在此情况下，供应商可直接起诉工厂的经营者（即投资人），要求其以个人财产对企业债务承担无限责任。

3. 若工厂为合伙企业（普通合伙或有限合伙）

   • 法律背景：根据《合伙企业法》第二条，普通合伙企业由普通合伙人组成，合伙人对合伙企业债务承担无限连带责任。有限合伙企业由普通合伙人和有限合伙人组成，普通合伙人对合伙企业债务承担无限连带责任，有限合伙人以其认缴的出资额为限对合伙企业债务承担责任。
   • 法律建议：若工厂为普通合伙企业，供应商可起诉所有普通合伙人，要求其承担无限连带责任。若工厂为有限合伙企业，供应商可起诉普通合伙人要求其承担无限连带责任，但有限合伙人仅在其认缴的出资额范围内承担责任。

进一步思考：

• 在起诉前，供应商应尽可能收集工厂的组织形式证据（如工商登记资料、合伙协议等），以确定正确的被告主体。
• 若经营者存在转移财产、逃避债务等行为，供应商可考虑申请财产保全，以确保判决后能够顺利执行。
• 在诉讼过程中，供应商应充分举证，证明债务的存在及金额，以及经营者应承担的责任（如存在滥用公司法人独立地位和股东有限责任的情形）。

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