结论前置：农田种树后私自砍伐是否违法，需根据具体情况判断，包括是否依法取得采伐许可证、砍伐的树木种类及数量，以及是否符合相关法律法规的规定。在未经许可或违反相关规定的情况下擅自砍伐，可能构成违法行为。
一、合法砍伐的情况
依法取得采伐许可证：
- 如果农民在自家承包的农田上种植了树木，且这些树木的种植并未违反相关保护规定（如基本农田保护条例中禁止占用基本农田发展林果业的规定，但若农田本身不属于基本农田，则不受此限制），同时农民依法向林业主管部门申请并获得了采伐许可证，那么按照许可证规定的范围、数量、方式等进行砍伐，是合法的行为。
特殊情况下的豁免：
- 在某些特殊情况下，如防止自然灾害、保障人身安全等紧急情况下，对自家农田里的树木进行必要的砍伐，可能不需要事先办理采伐许可证。但砍伐后需及时向相关部门报告并补办相关手续，以确保行为的合法性。
零星林木的例外：
- 如果农村居民采伐的是自留地和房前屋后个人所有的零星林木，且这些林木不属于国家保护的野生植物或古树名木，那么通常不需要申办林木采伐许可证。但这一例外并不适用于农田上种植的树木，除非该农田被明确认定为自留地或房前屋后的个人用地，且种植的树木符合零星林木的标准。
二、违法砍伐的情况
未办理采伐许可证擅自砍伐：
- 即使树木是种植在自家农田上，如果未经林业主管部门批准并核发采伐许可证，私自砍伐一定数量的树木，将构成违法行为。根据《中华人民共和国森林法》的规定，采伐林木必须申请采伐许可证，并按许可证的规定进行采伐。
砍伐受保护的树木：
- 如果自家农田上的树木属于珍稀树种或受法律保护的古树名木，无论是否办理采伐许可证，砍伐行为都是违法的。这些树木受到严格的法律保护，任何损害行为都将受到法律制裁。
违反基本农田保护规定：
- 如果农田属于基本农田，且农民在基本农田上种植了树木（这本身可能已违反了《基本农田保护条例》中禁止占用基本农田发展林果业的规定），那么擅自砍伐这些树木将面临更严重的法律后果。不仅可能违反《森林法》的相关规定，还可能触犯《基本农田保护条例》中关于破坏基本农田的条款。
三、违法后果
刑事责任：
- 如果未经许可或违反许可证规定砍伐林木，且数量较大，可能构成滥伐林木罪。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，滥伐林木数量较大的，可处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处或者单处罚金；数量巨大的，可处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。
行政处罚：
- 除了刑事责任外，还可能面临林业主管部门的行政处罚，如责令补种树木、没收违法所得、罚款等。同时，如果砍伐行为破坏了基本农田的种植条件，还可能受到土地行政主管部门的处罚。
四、建议与警示
鉴于擅自砍伐农田上的树木可能面临的严重法律后果，建议任何人在进行此类活动前务必咨询当地林业部门或法律顾问，了解相关法律法规和政策要求，并按照规定的程序进行申请和审批。特别是对于基本农田上的树木，更应谨慎对待，避免不必要的法律风险和环境损害。
综上所述，农田种树后私自砍伐是否违法需根据具体情况判断。为了确保行为的合法性，请务必在砍伐前了解相关法律法规并按照规定操作。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。