结论：根据您描述的情况，公司不能仅因您27年前的犯罪记录而开除您，但具体还需结合您当前的工作性质、公司规章制度以及相关法律法规来综合判断。以下从不同角度为您详细分析：
一、从《劳动合同法》的角度分析
根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在解除劳动合同时，必须符合法定的解除情形。一般来说，用人单位不能仅因劳动者过去的犯罪记录而解除劳动合同，除非该犯罪记录与当前的工作岗位有直接关联，且可能对公司的正常运营、客户安全或公共利益造成重大影响。
直接关联性：如果您的犯罪记录与您当前的工作岗位没有直接关联，比如您27年前犯的是盗窃罪，而现在您从事的是文职工作，那么公司不能仅凭这一犯罪记录就开除您。
重大影响：即使您的犯罪记录与工作岗位有一定关联，但如果这种关联并不足以对公司的正常运营、客户安全或公共利益造成重大影响，公司也不能随意开除您。
二、从公司规章制度的角度分析
公司规章制度是公司内部管理的重要依据，但规章制度的内容必须合法、合理，且不得违反法律法规的强制性规定。
合法性：如果公司的规章制度中明确规定了“员工有犯罪记录即解除劳动合同”，那么这一规定可能因违反法律法规的强制性规定而无效。因为《劳动合同法》并未赋予用人单位仅因员工有犯罪记录就解除劳动合同的权利。
合理性：即使公司的规章制度中有相关规定，也需要考虑其合理性。如果规定过于苛刻或不合理，可能无法得到法律的支持。
三、从实际案例的角度分析
在实际操作中，法院或仲裁机构在审理此类案件时，会综合考虑多种因素，包括犯罪记录的性质、时间、与工作岗位的关联性、对公司的潜在影响等。
时间因素：您27年前的犯罪记录，时间跨度较长，且您已经服刑完毕并重新融入社会多年，这一因素在判断时可能会被适当弱化。
性质因素：如果您的犯罪记录属于轻微犯罪或过失犯罪，且已经得到了法律的制裁和社会的谅解，那么这一因素在判断时也可能被适当考虑。
四、建议与措施
与公司沟通：您可以先与公司进行沟通，了解公司要求提供无犯罪记录证明的具体原因和目的，以及公司是否考虑过其他替代方案（如调整工作岗位、加强监管等）。
寻求法律援助：如果公司坚持要开除您，且您认为公司的行为违反了法律法规或公司规章制度，您可以寻求法律援助，通过法律途径维护自己的合法权益。
关注公司规章制度：在未来的工作中，建议您关注公司的规章制度，了解自己的权利和义务，以便在遇到类似问题时能够及时应对。
最后，如果您有任何进一步的疑问或需要更具体的法律建议，请直接向我咨询。我会根据您的具体情况，为您提供更详细、更专业的法律解答。