结论：家里人收到通知书称涉嫌开设赌场罪，意味着公安机关或检察机关认为卖私彩的行为可能触犯了开设赌场罪的相关规定，并已启动刑事诉讼程序。

详细解释与法律分析：

1. 开设赌场罪的定义：

   • 根据《中华人民共和国刑法》第三百零三条第二款的规定，开设赌场的，处五年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金；情节严重的，处五年以上十年以下有期徒刑，并处罚金。这里的“开设赌场”，不仅指传统的实体赌场，也包括利用互联网、移动通讯终端等传输赌博视频、数据，组织赌博活动等新型赌博方式。

2. 卖私彩与开设赌场罪的关系：

   • 私彩，通常指的是未经国家批准，擅自发行、销售的彩票。卖私彩的行为，往往伴随着赌博的性质，因为购买者购买私彩的目的往往是为了获取高额奖金，而非支持公益事业。当卖私彩的行为达到一定规模，且具备组织性、持续性等特征时，就可能被认定为开设赌场罪。

3. 刑事诉讼程序的启动：

   • 当公安机关或检察机关认为有犯罪事实发生，且需要追究刑事责任时，就会启动刑事诉讼程序。在这个过程中，他们会向涉嫌犯罪的人发出通知书，告知其涉嫌的罪名、权利义务等相关事项。因此，家里人收到通知书称涉嫌开设赌场罪，就意味着公安机关或检察机关已经认为卖私彩的行为可能触犯了开设赌场罪，并已正式立案侦查。

4. 可能的法律后果：

   • 如果最终被认定构成开设赌场罪，将面临上述法律条款规定的刑事处罚。同时，还可能面临罚款、没收违法所得等行政处罚。此外，犯罪记录会对个人的信用、就业、出国等方面产生长期负面影响。

5. 应对建议：

   • 及时咨询专业律师：面对刑事指控，及时咨询并委托专业律师是至关重要的。律师可以提供法律咨询、代理申诉、辩护等服务，帮助当事人维护合法权益。
   • 配合调查：在刑事诉讼过程中，应积极配合公安机关或检察机关的调查工作，如实陈述事实，提供相关证据。但同时也要注意保护自己的合法权益，避免自证其罪。
   • 关注案件进展：及时了解案件的进展情况，包括侦查阶段、审查起诉阶段、审判阶段等。这有助于当事人更好地了解自己的法律地位和可能面临的法律后果，从而做出更合理的决策。

总结与进一步思考：

家里人收到通知书称涉嫌开设赌场罪是一个严肃的法律问题，需要认真对待。卖私彩的行为可能触犯开设赌场罪，面临严重的法律后果。因此，建议及时咨询专业律师，了解自己的法律地位和可能面临的法律后果，并积极配合调查工作。同时，也要关注案件的进展情况，以便做出更合理的决策。如果您有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。