在罪犯病亡于监狱的情况下，举证责任主要落在监狱一方，监狱需要证明罪犯的死亡与监狱的监管行为无直接因果关系，或者证明监狱已经尽到了合理的监管和救助义务。以下从不同角度进行详细分析：
一、监狱的举证责任
证明死亡原因：
- 监狱需要提供医疗记录、尸检报告等证据，以证明罪犯的死亡是由于疾病等自然原因，而非由于监狱的监管不当或暴力行为导致。
- 如果罪犯的死亡与监狱的监管行为有关，如因监狱设施问题、监管人员疏忽等导致罪犯受伤后死亡，监狱则需要承担相应的举证责任，证明其已经尽到了合理的监管和救助义务。
证明监管义务履行：
- 监狱需要证明在罪犯生病期间，已经及时提供了必要的医疗救助，包括但不限于及时送医、提供必要的药物和治疗等。
- 监狱还需证明其监管设施符合安全标准，监管人员履行了职责，没有疏忽或故意行为导致罪犯死亡。
二、家属的举证权利与义务
质疑与申请调查：
- 家属如果对罪犯的死亡原因有疑问，有权向监狱提出质疑，并申请进行尸检或要求监狱提供相关的医疗记录和监管记录。
- 家属也可以向相关部门（如检察机关）投诉，要求介入调查罪犯的死亡原因。
提供初步证据（如有）：
- 如果家属掌握有初步证据表明罪犯的死亡可能与监狱的监管行为有关，如目击证人、监控录像等，应提供给监狱或相关部门以协助调查。
三、法律后果与责任承担
监狱责任：
- 如果监狱无法证明其已经尽到了合理的监管和救助义务，或者罪犯的死亡确实与监狱的监管行为有关，监狱可能需要承担相应的法律责任，包括但不限于行政责任、民事赔偿责任，甚至刑事责任（如构成犯罪）。
家属权益：
- 家属有权要求监狱对罪犯的死亡给出合理的解释，并有权要求监狱承担相应的赔偿责任（如果监狱存在过错）。
- 家属也有权通过法律途径维护自己的合法权益，如提起民事诉讼或刑事附带民事诉讼等。
四、实际操作建议
监狱方面：
- 建立健全的监管和医疗救助制度，确保罪犯在生病时能够得到及时有效的治疗。
- 完善监管设施，定期对监管人员进行培训，提高监管水平，减少监管事故的发生。
- 在罪犯死亡后，及时、全面地收集证据，以证明监狱已经尽到了合理的监管和救助义务。
家属方面：
- 保持冷静，通过合法途径表达诉求，不要采取过激行为。
- 积极收集证据，如目击证人、监控录像等，以支持自己的主张。
- 如有需要，及时咨询专业律师，了解自己的法律权益和维权途径。
总结来说，在罪犯病亡于监狱的情况下，监狱需要承担主要的举证责任，证明其已经尽到了合理的监管和救助义务。家属则有权质疑并申请调查，通过合法途径维护自己的权益。如果有任何疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我咨询。