结论：行业局的法律顾问同时担任下属中心及业务部门的法律顾问，这一行为是否合法，需结合具体情况来判断，但通常来说，在不存在利益冲突且符合相关规定的情况下，这种兼任行为是合法的。以下从多个角度进行分析：
一、法律顾问的兼任原则
法律顾问的兼任，首先需遵循的是利益冲突原则。即，法律顾问在为多个主体提供服务时，应确保不存在利益冲突，能够公正、客观地履行其职责。如果行业局与其下属中心及业务部门之间不存在利益冲突，且法律顾问能够同时为这些主体提供高质量的法律服务，那么这种兼任行为在原则上是可行的。
二、相关规定与要求
《律师法》及相关规定：
- 根据《律师法》及相关规定，律师在执业过程中应遵守职业道德和执业纪律，不得在同一案件中为双方当事人担任代理人，也不得利用提供法律服务的便利谋取当事人争议的权益。然而，这些规定主要针对的是律师在具体案件中的代理行为，对于法律顾问的兼任行为，并未直接作出禁止性规定。
行业局或下属单位的内部规定：
- 除了法律法规外，行业局或其下属单位可能还有自己的内部规定或规章制度，对法律顾问的兼任行为进行规范。因此，在判断这种兼任行为是否合法时，还需考虑这些内部规定的要求。如果内部规定明确禁止法律顾问同时担任多个主体的法律顾问，那么这种兼任行为就是不合法的。
三、实际操作中的考虑因素
利益冲突的判断：
- 在实际操作中，判断法律顾问是否存在利益冲突是关键。如果行业局与其下属中心及业务部门之间存在业务竞争、利益分配等敏感问题，那么法律顾问在兼任时可能会面临利益冲突的挑战。此时，法律顾问应谨慎考虑是否接受兼任，或者采取必要的措施来避免利益冲突的发生。
法律顾问的资质与能力：
- 法律顾问的资质与能力也是判断兼任行为是否合法的重要因素。如果法律顾问具备足够的法律知识和实践经验，能够同时为多个主体提供高质量的法律服务，那么这种兼任行为在能力上是可行的。然而，如果法律顾问的资质或能力不足，那么兼任多个主体的法律顾问可能会影响其服务质量和公正性。
合同或协议的约定：
- 在行业局与其下属中心及业务部门与法律顾问签订合同或协议时，应明确约定法律顾问的职责范围、服务内容、利益冲突处理机制等关键条款。这些条款可以为判断兼任行为是否合法提供明确的依据。
四、建议与风险提示
建议：
- 在考虑法律顾问兼任多个主体时，建议行业局及其下属中心及业务部门与法律顾问进行充分沟通，明确各自的需求和期望。
- 同时，应制定完善的内部规定或规章制度，对法律顾问的兼任行为进行规范和管理。
风险提示：
- 如果法律顾问在兼任过程中存在利益冲突或未能履行其职责，可能会引发法律纠纷或损害相关主体的利益。因此，在兼任前应进行充分的评估和风险防控。
有问题可以直接向我咨询，我会结合你的具体情况，给出更详细的法律建议。