迟到早退开除员工是否合法，主要取决于公司的规章制度、员工行为的严重性以及相关法律法规的遵循情况。以下是对此问题的详细分析：

1. 公司规章制度的合法性与合理性

   • 规章制度制定程序：根据《中华人民共和国劳动合同法》第四条，用人单位在制定涉及劳动者切身利益的规章制度时，必须遵循民主程序，如经职工代表大会或全体职工讨论，并与工会或职工代表平等协商确定。若规章制度未经民主程序制定，可能不具有法律效力。
   • 规章制度内容：规章制度的内容应合法、合理，且不得违反国家法律法规及政策。对于迟到早退开除的规定，应明确具体情形和严重程度，不能因偶尔一次迟到早退就界定为严重违纪进而开除员工。例如，公司规定员工一个月内累计迟到超过一定次数或时长，且未提前请假或说明原因的，视为严重违反规章制度，此时开除可能合法。
   • 规章制度公示或告知：用人单位应将规章制度公示或告知劳动者，确保员工知晓并遵守。若未公示或告知，员工对该制度不知晓，则用人单位依据该制度开除员工可能不合法。

2. 员工迟到早退行为的严重性

   • 偶尔与严重的区分：员工偶尔因不可抗力或合理原因迟到早退，并及时向用人单位说明情况，通常不应视为严重违反劳动纪律。然而，若员工经常或持续迟到早退，特别是当这种行为对公司正常运营造成不良影响时，可能被视为严重违反规章制度。
   • 对工作的影响：员工的迟到早退行为若导致重要业务未能及时完成，给公司造成重大经济损失，或在时间要求严格的工作岗位上危及公共安全或他人生命健康，即使未达到规章制度规定的次数或时长，也可能被视为严重违反规章制度。

3. 开除程序的合法性

   • 提前通知与支付经济补偿：根据《中华人民共和国劳动合同法》的相关规定，用人单位在解除劳动合同时，应遵循法定程序，如提前通知员工、支付相应的经济补偿（如适用）等。未遵循法定程序可能导致开除行为违法。

4. 法律救济途径

   • 协商与投诉：若员工认为公司因迟到早退开除自己的行为不合法，可以先与公司协商解决。协商不成时，可以向劳动监察部门投诉。
   • 申请劳动仲裁：员工还可以申请劳动仲裁，要求公司支付违法解除劳动合同的赔偿金等。在劳动仲裁过程中，员工需要提供证据证明公司的开除行为违法，如规章制度未公示、员工迟到早退行为未达到严重程度等。

举例说明：

• 合法开除的情形：某公司规章制度明确规定，员工一个月内累计迟到超过3次且未提前请假或说明原因的，视为严重违反规章制度，公司有权解除劳动合同。该规章制度已通过民主程序制定并公示给员工。某员工一个月内累计迟到4次且未提前请假或说明原因，公司依据规章制度将其开除。此时，开除行为可能合法。
• 不合法开除的情形：某公司规章制度未经过民主程序制定且未公示给员工，规定员工迟到一次即予以开除。某员工因突发疾病迟到一次，公司依据该规章制度将其开除。此时，开除行为可能不合法，因为规章制度制定程序不合法且内容不合理。

总结与建议： 公司在做出开除决定前，应确保规章制度的合法性与合理性、遵循法定程序、充分考虑员工行为的严重性。员工在面临开除决定时，也应了解自己的合法权益并寻求适当的法律救济途径。若您有任何关于劳动工伤（劳动仲裁）方面的法律问题，可以直接向我咨询。