结论前置：当地基抵押给银行而建筑物属于第三人时，处理方式需根据抵押权设立时地基与建筑物的关系、抵押合同约定以及相关法律规定综合判断，主要有以下几种情况：

1. 若地基与建筑物在抵押时已明确区分且抵押合同仅针对地基
   根据《民法典》第三百九十七条“以建筑物抵押的，该建筑物占用范围内的建设用地使用权一并抵押。以建设用地使用权抵押的，该土地上的建筑物一并抵押。抵押人未依据前款规定一并抵押的，未抵押的财产视为一并抵押”，但该条款的适用前提是“抵押人未明确区分”。若抵押合同中已明确约定仅抵押地基（如通过土地权属证书范围、抵押物清单等书面文件清晰界定），且银行在办理抵押登记时仅对地基部分进行了登记，则抵押权效力仅及于地基，不及于地上建筑物。此时，第三人作为建筑物的所有权人，其权利不受地基抵押的影响，银行无权就建筑物主张优先受偿权。但需注意，若抵押人（地基所有权人）与第三人（建筑物所有权人）存在恶意串通损害银行利益的情形（如低价转让建筑物、虚构租赁关系等），银行可依据《民法典》第一百五十四条主张抵押合同或相关交易无效。

2. 若地基与建筑物在抵押时未明确区分，或抵押合同约定“地基及地上建筑物一并抵押”
   根据《民法典》第三百九十七条的“一并抵押”规则，即使抵押合同未明确写明“建筑物”，只要抵押的是建设用地使用权，其上的建筑物也视为一并抵押（反之亦然）。此时需分两种情形：

   • 若建筑物在抵押时已存在：银行对地基和建筑物均享有抵押权，即使建筑物登记在第三人名下（如因历史遗留问题未过户、借名建房等），银行仍有权就建筑物拍卖、变卖所得价款优先受偿。第三人可依据其与抵押人的内部约定（如买卖合同、合作建房协议等）向抵押人追偿，但不得对抗银行的抵押权。
     
   • 若建筑物在抵押后新建：根据《民法典》第四百零二条“以建设用地使用权抵押的，该土地上新增的建筑物不属于抵押财产”，银行对抵押后新建的建筑物不享有抵押权。但若抵押合同中明确约定“包括未来新增建筑物”，或抵押人以“在建工程”形式抵押（需办理在建工程抵押登记），则银行可对新增建筑物主张权利。此时若第三人通过合法途径（如购买、继承）取得建筑物所有权，需核实其是否知悉抵押情况：若明知抵押仍受让，可能需承担部分风险；若不知情，可依据《民法典》第四百零六条“抵押期间，抵押人可以转让抵押财产。当事人另有约定的，按照其约定。抵押财产转让的，抵押权不受影响”主张权利，但实践中需结合具体证据判断。

3. 若涉及“房地分离”的特殊情形（如地基与建筑物分属不同主体且均合法）
   实践中存在“土地使用权人与建筑物所有权人不一致”的情况（如土地划拨给A，A允许B建房但未办理过户）。此时需区分处理：

   • 若抵押前已存在“房地分离”且银行明知：银行在接受地基抵押时，若未要求抵押人提供建筑物权属证明或未在抵押合同中明确约定建筑物处理方式，可能被认定为“明知房地分离仍接受抵押”，此时银行对建筑物的优先受偿权可能受限。第三人作为建筑物所有权人，可主张其权利不受影响，但需提供权属证明（如建房许可、产权证等）。
     
   • 若抵押后发生“房地分离”：如抵押人将建筑物转让给第三人，根据《民法典》第四百零六条，抵押权不受影响，银行仍可就地基和原建筑物（若未灭失）主张权利。但若建筑物已灭失或被拆除，银行仅能就地基价值受偿，第三人取得的是无抵押负担的建筑物残值（如有）。

建议：若您是银行方，需重点审查抵押合同是否明确抵押范围、抵押登记是否完整（如是否包含建筑物信息）、抵押时建筑物的存在状态；若您是第三人，需核实建筑物的权属来源、抵押情况（如查询不动产登记信息），避免因抵押权行使导致权益受损。具体操作中，建议结合抵押合同、登记文件、建筑物权属证明等证据，通过协商、诉讼或仲裁等方式解决争议。如有进一步细节，可直接向我咨询。