结论前置：针对交通事故无责任但一个月未出认定书的情况，您可以通过向交警部门直接询问进展、提交书面催办申请、向上级交警部门投诉或申请行政复议等方式来催促认定书的出具。

详细解答：

1. 向交警部门直接询问进展：

   • 您可以直接前往处理该交通事故的交警部门，向负责该案件的交警询问认定书的出具进展。这种方式直接且有效，能够迅速了解认定书未出具的具体原因，如是否因调查取证需要更多时间、是否因内部流程导致延误等。

2. 提交书面催办申请：

   • 如果直接询问未得到满意答复，您可以向交警部门提交一份书面的催办申请。在申请中，明确说明您的身份（即交通事故的当事人或相关方）、事故的基本情况（如时间、地点、涉及车辆及人员等）、认定书未出具的事实以及您对此的关切和催促理由。书面申请具有正式性，能够引起交警部门的重视，并可能加速认定书的出具进程。

3. 向上级交警部门投诉：

   • 如果交警部门在收到您的催办申请后仍未及时出具认定书，您可以考虑向上级交警部门进行投诉。投诉时，您需要提供详细的证据材料，包括事故现场照片、视频、证人证言等，以及您已经向处理该事故的交警部门提交催办申请的相关证明。上级交警部门在收到投诉后，会进行调查核实，并可能对下级交警部门进行督促或指导，以加快认定书的出具。

4. 申请行政复议：

   • 在极端情况下，如果交警部门长时间未出具认定书，且您认为其行为已经严重影响了您的合法权益，您可以考虑申请行政复议。行政复议是一种法律救济途径，通过向上级行政机关提出复议申请，要求其对下级行政机关的具体行政行为进行审查并作出决定。在申请行政复议时，您需要提交详细的复议申请书和相关证据材料，以支持您的复议请求。

法律背景与建议：

• 根据《中华人民共和国道路交通安全法》及相关规定，交警部门在处理交通事故时，应当及时出具交通事故认定书。如果因特殊情况需要延长出具时间的，应当告知当事人并说明理由。因此，您有权要求交警部门及时出具认定书，并对其未出具的行为进行催促和投诉。
• 在催促过程中，建议您保持冷静和理性，避免与交警部门发生不必要的冲突和矛盾。同时，您也可以咨询专业律师（如我，肖英豪律师，专注于刑事辩护、经济纠纷、交通事故领域），以获取更具体的法律建议和帮助。

可能后果：

• 如果交警部门在您的催促下仍然未及时出具认定书，且其行为被认定为违法或不当的，您可能会因此遭受一定的损失或不便。例如，您可能无法及时获得保险赔偿、无法顺利进行车辆维修等。在这种情况下，您可以通过法律途径追究交警部门的责任，并要求其承担相应的赔偿责任。但请注意，这需要根据具体情况和法律规定来具体分析和判断。