结论：是否构成轻伤不能仅凭对方没有住院这一情况来判断，需要依据专业的伤情鉴定结果来确定。以下为你详细分析：

伤情鉴定的标准与流程

1. 鉴定标准：根据《人体损伤程度鉴定标准》，轻伤是指使人肢体或者容貌损害，听觉、视觉或者其他器官功能部分障碍或者其他对于人身健康有中度伤害的损伤，包括轻伤一级和轻伤二级。例如，头皮创口或者瘢痕长度累计 20.0cm 以上、面部单个创口或者瘢痕长度 4.5cm 以上或者多个创口或者瘢痕长度累计 6.0cm 以上等情况可能构成轻伤二级；头皮撕脱伤面积达 20.0cm²以上、面部单个创口或者瘢痕长度 6.0cm 以上或者多个创口或者瘢痕长度累计 10.0cm 以上等情况可能构成轻伤一级。
2. 鉴定流程：在刑事案件中，伤情鉴定一般由公安机关的法医进行。公安机关受理案件后，会安排受害者到指定的鉴定机构进行伤情鉴定。鉴定机构会根据受害者的受伤情况，结合医学检查和诊断结果，依据上述标准出具伤情鉴定意见书。

使用凶器打人可能面临的法律后果

1. 治安管理处罚层面：如果经鉴定对方不构成轻伤及以上伤害，你的行为可能违反《治安管理处罚法》第四十三条的规定，即殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。使用凶器打人属于情节较重的情形，可能会面临更严厉的处罚，如十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上一千元以下罚款。
2. 刑事犯罪层面：如果经鉴定对方构成轻伤及以上伤害，你的行为可能涉嫌故意伤害罪。根据《刑法》第二百三十四条规定，故意伤害他人身体的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制。致人重伤的，处三年以上十年以下有期徒刑；致人死亡或者以特别残忍手段致人重伤造成严重残疾的，处十年以上有期徒刑、无期徒刑或者死刑。使用凶器打人，在量刑时可能会作为从重处罚的情节予以考虑。

后续建议

1. 积极配合调查：如果公安机关已经介入调查，你应当积极配合，如实陈述事情的经过，不要隐瞒或歪曲事实。
2. 关注伤情鉴定结果：伤情鉴定结果是认定你行为性质和法律后果的重要依据，你可以关注鉴定的进展和结果。如果对鉴定结果有异议，可以在规定的时间内申请重新鉴定。
3. 寻求法律帮助：由于此类案件涉及法律问题较为复杂，建议你及时向我咨询，我会根据你的具体情况为你提供专业的法律建议和辩护策略。

如果你还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我提问。