公职人员私下赌博若被公安机关发现，主要违反的是党纪和政纪方面的纪律规定。以下从不同角度进行详细分析：
一、党纪方面
根据《中国共产党纪律处分条例》的相关规定，公职人员作为党员，若参与赌博活动，将受到党纪的严肃处理。具体来说：
参与赌博活动：党员参与赌博，情节较轻的，可能受到警告或者严重警告处分；情节较重的，可能受到撤销党内职务或者留党察看处分；情节严重的，可能被开除党籍。
组织赌博活动：如果党员不仅参与赌博，还组织赌博活动，那么其处分将更为严厉，可能直接受到开除党籍的处分。
二、政纪方面
对于公职人员而言，除了党纪处分外，还可能面临政纪处分。根据《中华人民共和国公职人员政务处分法》的相关规定：
参与赌博活动：公职人员参与赌博活动，若情节较轻，可能受到警告、记过或者记大过处分；情节较重的，可能受到降级或者撤职处分；情节严重的，可能被开除公职。
组织赌博活动或为赌博提供条件：如果公职人员组织赌博活动或者为赌博提供条件，那么其处分将更为严厉，可能直接受到开除公职的处分。
三、法律后果
除了党纪和政纪处分外，公职人员参与赌博还可能面临法律后果。根据《中华人民共和国治安管理处罚法》的相关规定：
一般赌博行为：参与赌博赌资较大的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款；情节严重的，处十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上三千元以下罚款。
以营利为目的的赌博行为：如果公职人员以营利为目的，为赌博提供条件或者参与赌博赌资较大，还可能构成赌博罪，面临刑事处罚。根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，以营利为目的，聚众赌博或者以赌博为业的，处三年以下有期徒刑、拘役或者管制，并处罚金。
四、综合考量
在实际操作中，对于公职人员私下赌博的行为，公安机关在发现后，会将其违法事实通报给其所在单位或纪检监察机关。所在单位或纪检监察机关将根据具体情况，依据党纪和政纪的相关规定，对涉事公职人员给予相应的处分。同时，如果涉事公职人员的行为构成违法或犯罪，还将依法追究其法律责任。
建议：作为公职人员，应当严格遵守党纪国法，自觉抵制赌博等不良行为。如果发现自己或身边人有参与赌博的倾向或行为，应及时制止并报告相关部门，以免给自己和他人带来不必要的麻烦和损失。若您有具体的法律问题或需要进一步的法律建议，请直接向我咨询。