结论：女儿去世后，女婿一般没有法律义务分担其岳母的住院医疗费，但在特定情况下，如女婿自愿承担、存在赡养协议或基于公平原则，女婿可能会分担部分费用。以下是对此问题的详细分析：
法律义务角度：
- 根据我国相关法律规定，女婿对岳父母并不负有法定的赡养义务。赵养义务主要存在于子女与父母之间，以及在某些特定情况下，如子女先于父母死亡，有负担能力的孙子女、外孙子女对于祖父母、外祖父母有赡养义务。因此，在女儿去世后，女婿并没有法律上的义务去分担岳母的住院医疗费。
自愿承担角度：
- 尽管女婿没有法律义务，但如果他出于道德、情感或家庭责任等因素，自愿承担部分或全部医疗费用，这是完全可以的。这种自愿行为体现了家庭成员之间的互助和关爱，有助于维护家庭和谐。
赡养协议角度：
- 如果在女儿生前，女婿与岳父母之间签订了赡养协议，约定了女婿在特定情况下（如女儿去世后）需要承担的赡养义务，那么女婿就需要按照协议履行。这种情况下，女婿分担医疗费是基于协议约定，而非法律义务。
公平原则角度：
- 在某些特殊情况下，如果女婿因女儿去世而获得了岳父母的财产或其他利益，或者女婿与岳父母之间存在其他经济往来，法院可能会根据公平原则，酌情判决女婿分担部分医疗费用。但这种情况较为少见，且需要具体案件具体分析。
建议：
- 如果岳母家庭经济困难，无法承担医疗费用，可以尝试与女婿进行沟通协商，看其是否愿意自愿承担部分费用。
- 如果双方之间存在赡养协议或其他经济往来，可以依据协议或往来情况，向女婿提出合理的分担要求。
- 如果协商无果，且符合法律规定的条件，可以考虑通过法律途径解决纠纷，但需注意，一般情况下女婿并无法律义务分担医疗费，因此法律途径可能难以达到预期效果。
后续行动：
- 在处理此类问题时，建议保持冷静和理性，通过沟通协商寻求解决方案。
- 如果需要法律帮助或咨询，可以直接向我提问，我会根据具体情况提供专业的法律意见。