结论：盗窃关一个月是否有案底，主要取决于这一个月的拘留性质以及案件的最终处理结果。如果是行政拘留，通常不会留下案底；但如果是刑事拘留且后续被判决有罪，则会留下案底。

详细分析：

1. 行政拘留的情况：

   • 性质：行政拘留是公安机关依法对违反行政管理秩序的公民采取的限制其人身自由的惩罚措施。
   • 法律后果：行政拘留不属于犯罪记录的范畴，因此不会留下通常所说的“案底”。然而，这一记录会在公安机关留存，并可能对参军、公务员考试等政审环节产生不利影响。
   • 举例：若某人因盗窃行为被公安机关处以行政拘留一个月，且该行为未达到刑事犯罪的标准，那么该人在此期间不会留下犯罪记录。

2. 刑事拘留且后续被判决有罪的情况：

   • 性质：刑事拘留是在刑事诉讼过程中，对涉嫌犯罪的嫌疑人采取的临时性强制措施。
   • 法律程序：刑事拘留后，案件会被移送至检察院审查起诉，再经法院审理判决。
   • 法律后果：若被判决有罪，则意味着行为人实施了犯罪行为，会留下犯罪记录，即“案底”。这一案底将长期存在于其个人档案中，并可能对其未来的就业、教育、社会交往等方面产生不利影响。
   • 举例：若某人因盗窃行为被刑事拘留一个月，且后续经法院审理被判定构成盗窃罪，作出了有罪判决，那么该人就会留下案底。

3. 刑事拘留但后续案件被撤销、不起诉或判决无罪的情况：

   • 公安机关撤销案件：在侦查过程中，若公安机关发现犯罪嫌疑人没有犯罪事实，或者存在《刑事诉讼法》第十六条规定的情形（如情节显著轻微、危害不大，不认为是犯罪的等），公安机关会撤销案件。此时，行为人因未构成犯罪，故不会留下案底。
   • 检察院决定不起诉：案件侦查终结后移送人民检察院审查起诉。若人民检察院认为犯罪嫌疑人没有犯罪事实，或者同样存在《刑事诉讼法》第十六条规定的情形，应当作出不起诉决定。对于犯罪情节轻微，依照刑法规定不需要判处刑罚或者免除刑罚的，人民检察院也可以作出不起诉决定。在这种情况下，行为人同样不会留下案底。
   • 法院判决无罪：即便案件被起诉到法院，若经过法院审理，最终判决被告人无罪，那么行为人自然也不会留下案底。因为无罪判决意味着行为人的犯罪事实没有得到法律确认。

建议与指导：

• 若您或您身边的人因盗窃行为被拘留，首先需要明确拘留的类型（行政拘留还是刑事拘留）。
• 了解案件的具体进展和结果（是否被起诉、判决情况等），以便准确判断是否会留下案底。
• 如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我将根据您的具体情况提供详细的法律意见和帮助。