结论：妈妈变更抚养权时，爸爸打孩子的视频即使没有报警记录，仍然可以作为证据提交，但需注意证据的合法性、关联性和证明力问题。以下从多个角度详细分析：

一、视频证据的合法性

1. 合法来源：视频证据必须是通过合法手段获取的，不能侵犯他人隐私或违反法律禁止性规定。例如，如果视频是在公共场所拍摄，且未侵犯他人隐私，那么其合法性通常可以得到认可。
2. 未经剪辑：视频内容应真实、完整，未经剪辑或篡改，以反映事件的真实情况。如果视频被剪辑或篡改，其证明力将大打折扣。

二、视频证据的关联性

1. 与案件事实相关：视频证据必须与抚养权变更案件的事实相关联，即能够证明爸爸存在打孩子的行为，且这种行为对孩子的身心健康造成了不利影响。
2. 证明爸爸的行为：视频应清晰展示爸爸打孩子的具体行为，包括时间、地点、人物、行为方式等，以便法院能够准确认定事实。

三、视频证据的证明力

1. 单独证明力有限：虽然视频证据能够直观展示爸爸打孩子的行为，但单独使用时其证明力可能有限。因为视频只能证明某一时刻的行为，无法全面反映爸爸平时对孩子的态度和行为。
2. 需结合其他证据：为了提高视频证据的证明力，建议结合其他证据一起提交，如孩子的陈述、目击者的证言、医疗记录等。这些证据可以相互印证，形成完整的证据链，从而更有力地证明爸爸存在打孩子的行为。

四、没有报警记录的影响

1. 不影响证据提交：没有报警记录并不影响视频证据的提交。报警记录只是证明事件发生的一种方式，但不是唯一方式。即使没有报警记录，只要视频证据合法、关联且具有证明力，仍然可以作为证据提交。
2. 可能影响法院认定：然而，没有报警记录可能会在一定程度上影响法院对事件严重性的认定。因为报警记录通常包含警方对事件的调查和处理情况，能够更全面地反映事件的性质和后果。因此，在提交视频证据时，建议尽可能提供其他相关证据来弥补这一不足。

五、法律建议

1. 及时收集证据：如果妈妈发现爸爸有打孩子的行为，应及时收集相关证据，包括视频、照片、医疗记录等。这些证据在后续的抚养权变更诉讼中将起到重要作用。
2. 咨询专业律师：在准备提交证据前，建议咨询专业律师的意见。律师可以根据具体情况评估证据的合法性和证明力，并提供针对性的法律建议。
3. 保护孩子权益：在变更抚养权的过程中，应始终以保护孩子的权益为首要原则。如果爸爸的行为确实对孩子造成了不利影响，应积极采取措施保护孩子的身心健康。

如果您在抚养权变更过程中遇到任何法律问题或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。