遇到同一法律关系下的两个生效判决相互矛盾，核心处理方式是通过审判监督程序（再审）申请撤销或改判其中一个判决，同时可向法院申请执行协调或暂缓执行，必要时可向检察机关申请法律监督。以下是具体分析：

1. 启动审判监督程序（再审）

根据《民事诉讼法》第207条及《刑事诉讼法》第254条，若发现生效判决存在“认定基本事实缺乏证据证明”“适用法律错误”“违反法定程序”等法定情形，当事人或利害关系人可向上一级法院申请再审，或通过检察院抗诉启动再审。
操作要点：

• 主体资格：原案件当事人、案外人（如判决损害其权益）均可申请；
  
• 期限限制：通常需在判决生效后6个月内提出（特殊情形可延长）；
  
• 证据要求：需提供新证据或证明原判决存在法定错误；
  
• 结果可能性：法院可能裁定再审并中止原判决执行，最终通过撤销、改判或发回重审解决矛盾。

2. 申请执行协调或暂缓执行

若两个判决涉及同一执行标的（如同一财产归属），可依据《最高人民法院关于人民法院执行工作若干问题的规定（试行）》第16条，向执行法院申请协调执行方案，或要求暂缓执行以避免冲突。
操作要点：

• 协调主体：由共同上级法院牵头，组织执行法院协商；
  
• 暂缓条件：需证明执行可能导致难以弥补的损害（如财产被错误处置）；
  
• 期限限制：暂缓执行通常不超过3个月，需在期限内通过再审解决矛盾。

3. 向检察机关申请法律监督

根据《人民检察院民事诉讼监督规则》第21条，若认为法院判决存在“同案不同判”“程序违法”等情形，可向同级或上级检察院申请检察建议或抗诉。
操作要点：

• 监督范围：包括判决、裁定、调解书及执行活动；
  
• 审查期限：检察院需在3个月内审查并作出决定；
  
• 结果效力：检察院提出抗诉的，法院必须再审，但再审结果仍由法院独立裁判。

4. 特殊情形：案外人救济途径

若矛盾判决涉及案外人权益（如财产被错误判归他人），案外人可依据《民事诉讼法》第234条提起“第三人撤销之诉”，或通过“执行异议之诉”主张权利。
操作要点：

• 时效限制：需在知道权益受损后6个月内起诉；
  
• 证明责任：需证明原判决损害其民事权益且无法通过其他途径救济。

总结建议

1. 优先启动再审：若矛盾判决直接损害权益，应尽快收集证据申请再审；
   
2. 同步申请执行协调：若涉及执行冲突，需同时向执行法院申请暂缓或协调；
   
3. 借助检察监督：若法院内部协调困难，可向检察院申请介入；
   
4. 案外人及时救济：若为案外人，需在法定期限内主张权利，避免丧失救济机会。
   

提示：法律程序具有严格时效性，建议根据矛盾判决的具体类型（民事、刑事、行政）及矛盾内容（事实认定、法律适用、程序问题），针对性选择上述途径，并委托专业律师协助处理。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体案件类型下的操作方案。