针对深夜滞留行政机关单位办公场所周围的行为，可依法采取以下打击处理措施，具体依据及分析如下：

1. 依据《治安管理处罚法》进行处罚

   • 行为定性：若滞留者存在扰乱单位秩序、妨碍公务执行或故意制造噪音等行为，可认定为违反治安管理。
     
   • 法律依据：根据《治安管理处罚法》第二十三条，对“扰乱机关、团体、企业、事业单位秩序，致使工作不能正常进行，尚未造成严重损失的”行为，处警告或二百元以下罚款；情节较重的，处五日以上十日以下拘留，可并处五百元以下罚款。
     
   • 处理建议：行政机关可立即报警，由公安机关调查取证后依法处罚，重点收集现场监控、证人证言等证据。

2. 依据《刑法》追究刑事责任（情节严重时）

   • 行为定性：若滞留者实施破坏财物、暴力抗法、聚众扰乱社会秩序等行为，可能构成犯罪。
     
   • 法律依据：
     
     • 《刑法》第二百九十条：聚众扰乱社会秩序，情节严重，致使工作、生产、营业和教学、科研、医疗无法进行，造成严重损失的，对首要分子处三年以上七年以下有期徒刑；对其他积极参加的，处三年以下有期徒刑、拘役、管制或剥夺政治权利。
       
     • 《刑法》第二百七十五条：故意毁坏公私财物，数额较大或有其他严重情节的，处三年以下有期徒刑、拘役或罚金；数额巨大或有其他特别严重情节的，处三年以上七年以下有期徒刑。
       
   • 处理建议：行政机关应保护现场，及时固定财物损坏、人员受伤等证据，并配合公安机关刑事立案侦查。

3. 依据《民法典》主张民事赔偿

   • 行为定性：若滞留行为导致行政机关财产损失（如门窗损坏、设备故障）或人员人身损害，可要求行为人承担民事赔偿责任。
     
   • 法律依据：《民法典》第一千一百六十五条：行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
     
   • 处理建议：行政机关可收集损失清单、维修发票、医疗记录等证据，通过协商或诉讼要求赔偿。

总结：深夜滞留行政机关周围的行为，需根据具体情节选择法律适用。轻微扰乱秩序的以治安处罚为主，情节严重或造成损失的，可同步追究刑事责任及民事赔偿。行政机关应优先通过报警启动公权力介入，同时注意固定证据以保障后续维权。如有进一步疑问，可直接向我咨询具体场景下的法律应对方案。