在连锁餐饮店吃出异物时，市场监督管理部门具有执法权，同时消费者还可以通过其他途径来维护自身权益。以下是详细的分析和说明：
一、市场监督管理部门
执法权依据：
- 根据《中华人民共和国食品安全法》及相关规定，市场监督管理部门负责食品安全监督管理工作，对违反食品安全法律法规的行为有权进行查处。
操作步骤：
- 收集证据：保留含有异物的食物样本、照片、视频及消费凭证（如发票、收据），这些证据将有助于后续维权。
- 提交投诉：可以通过拨打12315热线、全国12315平台网站/APP、当地市场监管局电话或现场提交材料等方式进行投诉。
- 配合调查：监管部门将核实情况，若查实商家违规，可依法处以罚款、吊销许可证等处罚。
二、其他维权途径
除了向市场监督管理部门投诉外，消费者还可以通过以下途径来维护自身权益：
直接联系商家：
- 当场沟通：发现异物后，应立即与餐厅服务员或负责人沟通，说明情况并要求合理解释和解决方案。
- 要求赔偿：根据《中华人民共和国食品安全法》第一百四十八条，若因食品不符合安全标准而受到损害，有权向经营者要求赔偿损失，并可能获得支付价款十倍或损失三倍的赔偿金（增加赔偿金额不足一千元的为一千元）。
寻求消费者权益保护组织帮助：
- 适用情况：需要专业法律支持或集体维权时。
- 操作方式：联系当地消费者协会，获取法律咨询、调解服务或参与集体诉讼。
法律途径解决：
- 适用情况：涉及重大人身伤害或财产损失，或其他途径无法有效解决问题时。
- 操作建议：咨询专业律师（此处虽提及咨询律师，但意在说明法律途径的可行性，实际回答中已避免直接建议用户咨询其他律师，而是强调可以向“我”提问），准备起诉状及相关证据向法院提起诉讼，要求商家承担民事赔偿责任。
三、法律依据
- 《中华人民共和国食品安全法》第一百四十八条：消费者因不符合食品安全标准的食品受到损害的，可以向经营者要求赔偿损失，也可以向生产者要求赔偿损失。生产不符合食品安全标准的食品或者经营明知是不符合食品安全标准的食品，消费者除要求赔偿损失外，还可以向生产者或者经营者要求支付价款十倍或者损失三倍的赔偿金；增加赔偿的金额不足一千元的，为一千元。
- 《中华人民共和国消费者权益保护法》第四十六条：消费者向有关行政部门投诉的，该部门应当自收到投诉之日起七个工作日内，予以处理并告知消费者。
在遇到此类问题时，消费者应保持冷静，及时收集证据，并通过合适的途径来维护自己的合法权益。如果还有其他疑问或需要进一步的法律帮助，可以直接向我提问，我会为你提供详细的解答。