当交通事故法院判决后对方未履行其应尽的责任和义务时，您可以采取以下一系列措施来维护自己的合法权益，确保问题得到有效解决：
一、沟通协商
首先，我建议您尝试与对方进行平和、理性的沟通。了解对方不履行的具体原因，可能是对方经济困难、对判决结果有异议或其他原因。在沟通过程中，明确告知对方不履行交通事故判决结果是违法的，并敦促其尽快履行义务。同时，务必保留好沟通过程中的相关证据，如聊天记录、通话录音等，这些证据在后续的法律程序中可能会起到关键作用。
二、申请调解
如果沟通协商无果，您可以根据《中华人民共和国道路交通安全法》第七十四条的规定，请求公安机关交通管理部门进行调解。调解是一种非诉讼的解决方式，有助于在和谐的气氛中解决争议，降低时间和经济成本。若调解成功并达成协议，该协议将具有法律约束力，双方应严格遵守并履行。
三、保险理赔
如果对方车辆购买了相应保险，您可以及时向对方的保险公司提供事故责任认定书等相关资料，按照保险理赔程序要求申请赔偿。这是另一种快速且有效的解决途径，能够确保您尽快获得应有的赔偿。
四、提起民事诉讼（若已诉讼但判决未执行）
若您之前已经提起过民事诉讼并获得了法院判决，但对方仍未履行，那么这一步其实已经走过。不过，如果之前未诉讼，且其他方法均无法解决问题，您可以向有管辖权的人民法院再次提起民事诉讼（或确认执行申请）。在诉讼（或执行申请）过程中，需准备充分的证据材料，包括民事起诉状（或执行申请书）、交通事故责任认定书、相关证据（如医疗费用发票、病历、误工证明、护理证明、财产损失清单及相关发票等），以证明对方的过错和您的损失情况。法院将依据事实和法律作出判决（或执行裁定）。
五、申请强制执行
如果法院判决（或裁定）后对方仍不履行赔偿义务，您可以向法院申请强制执行。根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，法院有权采取一系列强制执行措施，如查询、冻结、划拨被申请执行人的存款，扣押、拍卖、变卖被申请执行人的财产等。这些措施将确保您的赔偿权益得到切实实现。
六、追究刑事责任（极端情况）
在极端情况下，如果对方有能力执行法院判决而拒不执行，且情节严重，可能构成拒不执行判决、裁定罪。根据《中华人民共和国刑法》第三百一十三条的规定，这种情况可以处三年以下有期徒刑、拘役或者罚金；情节特别严重的，处三年以上七年以下有期徒刑，并处罚金。此时，您可以向公安机关报案，由公安机关立案侦查并依法追究对方的刑事责任。
七、其他注意事项
总之，面对对方不履行交通事故责任的情况，您应及时采取措施通过合法途径维护自己的合法权益。通过沟通协商、申请调解、保险理赔、提起民事诉讼（或确认执行申请）、申请强制执行以及追究刑事责任等多种手段的综合运用，您可以有效解决这一问题。