结论前置：针对您狗狗被不牵绳的大狗咬伤，就医后对方不认，且只有对方微信的情况，您可以通过收集证据、明确被告信息、撰写起诉状、提交法院并参与诉讼等步骤来维护自己的权益。以下是我为您详细梳理的步骤和建议：
一、收集证据
- 微信聊天记录：保存与对方的微信聊天记录，特别是对方承认狗狗咬伤您狗狗或对此事有所回应的部分。这些记录可以作为对方承认事实的初步证据。
- 就医记录：收集您狗狗就医的所有记录，包括诊断书、治疗费用发票、用药清单等。这些记录能够证明您狗狗确实受到了伤害，并因此产生了医疗费用。
- 现场照片或视频：如果可能的话，提供事发现场或狗狗受伤部位的照片或视频。这些直观证据能够更生动地展示狗狗受伤的情况。
- 证人证言：如果有目击者看到事发经过，可以请他们出具证人证言，证明是对方的大狗咬伤了您的狗狗。
二、明确被告信息
- 微信实名认证信息：尝试通过微信平台获取对方的实名认证信息，这通常需要一定的法律程序或平台协助，但在诉讼中可能是必要的。
- 其他联系方式：除了微信，尝试通过其他途径获取对方的联系方式，如电话号码、住址等，以便在起诉时能够准确送达法律文书。
三、撰写起诉状
- 原告信息：填写您的个人信息，包括姓名、性别、年龄、住址、联系方式等。
- 被告信息：根据您获取的信息，填写对方的个人信息。
- 诉讼请求：明确您的诉讼请求，如要求对方赔偿医疗费用、精神损失费等。
- 事实与理由：详细陈述狗狗被咬伤的事实经过，以及您因此遭受的损失，并附上相关证据。
四、提交法院并参与诉讼
- 选择法院：根据被告的住所地或侵权行为地选择合适的法院进行起诉。
- 提交起诉状：将撰写好的起诉状及相关证据提交给法院，并缴纳诉讼费用。
- 参与诉讼：按照法院的通知参与诉讼过程，包括出庭、举证、质证等。
五、法律建议
- 及时行动：由于诉讼时效的限制，建议您尽快采取行动，以免错过诉讼时机。
- 寻求专业帮助：如果您在诉讼过程中遇到困难或不确定如何操作，可以寻求专业律师的帮助。虽然我不能直接为您提供法律援助，但您可以向我咨询相关法律问题，我会尽力为您解答。
- 保持冷静和理性：在诉讼过程中，保持冷静和理性是非常重要的。不要因为情绪激动而做出不理智的行为或言论。
法律依据：
- 根据《中华人民共和国民法典》第一千二百四十五条：“饲养的动物造成他人损害的，动物饲养人或者管理人应当承担侵权责任；但是，能够证明损害是因被侵权人故意或者重大过失造成的，可以不承担或者减轻责任。”
在您的情况下，如果对方的大狗确实咬伤了您的狗狗，且您没有故意或重大过失，那么对方作为动物饲养人或管理人应当承担侵权责任。您有权要求对方赔偿因此产生的医疗费用等损失。
希望以上建议能够对您有所帮助。如果您有任何其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时向我提问。