当无行为能力人的监护人被执行（这里主要指的是监护人因不履行或不当履行监护职责而面临法律后果）时，其可能面临的法律后果是多样且严重的，具体包括以下几个方面：

一、受训诫

根据我国《预防未成年人犯罪法》和《未成年人保护法》的相关规定，如果监护人（如父母）不履行监护职责，侵害未成年人合法权益，或者放任未成年人有不良行为或严重不良行为，那么监护人所在单位、基层群众组织或公安机关有权给予训诫。这是一种警示和教育措施，旨在促使监护人认识到自己的错误并改正。

二、受行政处罚

若监护人没有尽到监护职责，且其行为构成违反治安管理行为的，公安机关将依法给予行政处罚。例如，根据《治安管理处罚法》的规定，虐待、遗弃家庭成员或没有独立生活能力的被扶养人，可处五日以下拘留或者警告。

三、承担民事责任

监护人不履行监护职责或侵害被监护人合法权益的，应当承担民事责任。这包括停止侵害、排除妨害、消除危害等责任方式。如果给被监护人造成财产损失的，监护人还应当赔偿损失。此外，根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，监护人的职责是代理被监护人实施民事法律行为，保护被监护人的人身权利、财产权利以及其他合法权益等。若监护人严重不履行这些职责，给被监护人造成不利影响，人民法院可以撤销监护人的资格。

四、监护权被剥夺

在极端情况下，如果监护人（如父母）性侵害、出卖、遗弃、虐待、暴力伤害未成年人，严重损害未成年人身心健康，或拒不履行监护职责长达六个月以上，导致未成年人流离失所或者生活无着等情形的，未成年人住所地的村（居）民委员会等单位有权向人民法院申请撤销监护人资格。被剥夺监护权后，监护人仍应负担未成年人的生活费，但不再享有监护人的权利。

五、被追究刑事责任

如果监护人没有认真履行职责，遗弃没有独立生活能力的未成年人，情节严重，使未成年人长期处于无人照料境地，根据《刑法》的规定，可以以遗弃罪立案追诉。监护人将面临五年以下有期徒刑的刑罚。

总结与建议：

作为无行为能力人的监护人，肩负着保护被监护人人身、财产等合法权益的重任。如果监护人因不履行或不当履行监护职责而面临法律执行，其后果将是严重的，不仅可能受到训诫、行政处罚，还可能承担民事责任、被剥夺监护权，甚至被追究刑事责任。因此，建议监护人务必认真履行监护职责，确保被监护人的合法权益得到充分保护。如果监护人因特殊原因无法履行职责，应及时寻求法律援助或委托其他合适的监护人代为履行职责。