当法院通过公告送达方式向被告送达了相关法律文书，但被告在开庭时未出庭时，我们可以按照以下步骤和原则来处理：

一、法院有权进行缺席审理与判决

1. 法律依据： 根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，若被告经传票传唤无正当理由拒不到庭，或未经法庭许可中途退庭，法院可缺席审理。公告送达作为法定送达方式之一，其效力等同于直接送达。因此，在公告程序合法的前提下，即使被告未实际收到传票，法院也有权启动缺席审判程序。

2. 缺席判决的具体操作：

   • 证据审查：法院会严格审核原告提交的证据链完整性及证明力，确保事实认定达到高度盖然性标准。例如，在民间借贷纠纷中，法院会核查借条原件、转账记录等关键证据的真实性。
   • 诉讼权利保障：虽然被告未到庭，但其答辩权已通过公告期间实现。法官会特别关注是否遗漏必要共同诉讼人，以避免程序瑕疵。
   • 裁判文书制作：判决书会明确载明公告送达事实、缺席审理依据及上诉权利告知，以确保程序正义可视化。

二、后续执行程序的衔接

1. 生效法律文书的强制执行力： 缺席判决自送达之日起15日上诉期满后生效（一审判决）或二审终审后生效。权利人可在履行期限届满后2年内向法院申请强制执行。

2. 执行措施的实施路径：

   • 财产查控：法院会通过“总对总”网络查控系统冻结银行账户、查封房产车辆等可执行财产。
   • 信用惩戒：将被执行人纳入失信名单并限制高消费，以迫使其主动履行义务。
   • 司法拘留：对拒不配合执行的被执行人，法院可采取15日以下拘留措施。

三、特殊情形的应对方案

1. 发现新证据的救济途径： 若被告在判决生效后发现足以推翻原判决的新证据，可通过再审申请或第三人撤销之诉来维权。再审申请需在自知道或应当知道之日起6个月内提出，并提交证据材料及再审申请书。

2. 程序瑕疵的补救机制： 若发现公告送达存在地址错误、期限不足等程序问题，当事人可向作出生效判决的法院申请再审，或通过检察院抗诉启动纠错程序。

总结与建议：

公告送达后对方不出庭，法院有权进行缺席审理与判决，并确保判决的公正性和法律效力。对于原告而言，应确保提交的证据充分、真实，以支持自己的主张。对于被告而言，虽然选择不出庭可能被视为放弃了出庭、陈述和辩护的权利，但仍需履行判决所确定的义务。若对判决有异议或发现新证据，可通过合法途径寻求救济。在整个法律程序中，我们应尊重并遵守法律规定，确保案件的公正、公平和及时审理。