交通事故中，当事人确实有权自行委托具有合法资质的鉴定机构进行轻重伤鉴定，但需严格遵循相关法律程序和注意事项。以下是对此问题的详细分析：

一、法律依据与程序要求

1. 《最高人民法院关于民事诉讼证据的若干规定》第四十一条：

   • 该条款明确规定，对于一方当事人就专门性问题自行委托有关机构或者人员出具的意见，若另一方当事人有证据或者理由足以反驳并申请鉴定，人民法院应予准许。这意味着，只要自行委托的鉴定程序合法，且没有遭到有效反驳，该鉴定意见即可被视为有效。

2. 《司法鉴定程序通则（2016年版）》第十二条：

   • 该条款强调了委托人在委托鉴定时，需向司法鉴定机构提供真实、完整、充分的鉴定材料，并对这些材料的真实性、合法性负责。同时，司法鉴定机构也有责任核对并记录鉴定材料的详细信息。这确保了鉴定过程的合法性和鉴定结果的准确性。

3. 《道路交通事故处理程序规定》：

   • 该规定明确允许当事人在处理交通事故时，可以自行委托有资格的机构或人员进行检验、鉴定。这为当事人自行委托鉴定提供了直接的法律依据。

二、自行委托鉴定的注意事项

1. 确保机构具有合法资质：

   • 选择的鉴定机构必须持有有效的执业许可证，且鉴定人员需具备相应的资格证书。这是确保鉴定结果合法性和准确性的基础。

2. 了解机构信誉和专业水平：

   • 通过查询业绩、客户评价及行业口碑等方式，评估机构的信誉和专业能力。选择信誉良好、专业水平高的鉴定机构，有助于确保鉴定结果的公正性和客观性。

3. 遵循法定程序：

   • 委托鉴定时需签订委托书，明确鉴定事项和范围。同时，要确保提供的鉴定材料真实、完整、充分，并对这些材料的真实性、合法性负责。

4. 保留相关证据：

   • 在委托鉴定过程中，要妥善保留与鉴定相关的各种证据，如鉴定委托书、鉴定材料、鉴定报告等。这些证据在后续的诉讼或理赔过程中可能起到关键作用。

5. 考虑费用承担：

   • 自行委托鉴定的费用需由申请人自己承担。这是当事人在行使自行委托鉴定权利时需要考虑的经济因素。

三、实际操作中的建议

1. 咨询专业意见：

   • 在选择鉴定机构前，建议咨询我这样的专业律师，了解相关法律规定和程序要求，以确保委托鉴定的合法性和有效性。

2. 积极应对异议：

   • 若对方当事人对自行委托的鉴定结果有异议，应积极配合重新鉴定程序，以确保鉴定结果的公正性和客观性。同时，也可以准备充分的证据来支持自己的鉴定结果。

3. 保持沟通：

   • 在整个鉴定过程中，保持与鉴定机构的沟通，及时了解鉴定进展和结果。这有助于及时发现问题并解决问题，确保鉴定过程的顺利进行。

综上所述，交通事故中当事人自行委托具有合法资质的鉴定机构进行轻重伤鉴定是合法且可行的，但需严格遵循相关法律程序和注意事项。通过遵循上述建议和注意事项，可有效保障当事人的合法权益和鉴定结果的公正性。如有任何疑问或需要进一步的法律帮助，请随时向我咨询。