被告人聘请的律师可以写信给法官，但需严格遵循法定程序与规范。具体分析如下：

1. 律师与法官沟通的合法性
   根据《中华人民共和国律师法》第三十五条，律师有权向办案机关了解案件情况、查阅案卷材料，并可依法与办案人员沟通。律师通过书面形式（如法律意见书、申请书等）向法官提交专业意见，属于法定执业行为，但需通过法院指定的渠道（如邮寄、诉讼服务平台或法院接收窗口）提交，不得私下直接联系法官。

2. 书面沟通的适用场景
   律师写信给法官通常用于以下情形：

   • 提交补充证据或法律意见（如新发现的证据、对控方证据的质证意见）；
     
   • 申请变更强制措施（如取保候审）；
     
   • 提出管辖权异议、回避申请等程序性请求；
     
   • 对案件审理程序提出建议（如延期开庭、召开庭前会议）。
     需注意：所有书面材料需明确标注案号、当事人姓名及律师身份信息，并附相关法律依据。

3. 禁止性规定与风险规避

   • 禁止私下接触：根据《法官法》及《司法机关内部人员过问案件的记录和责任追究规定》，律师不得通过非正当途径（如私人电话、社交软件）联系法官，否则可能构成“干扰司法活动”，面临警告、罚款甚至停止执业等处罚。
     
   • 内容合规性：书面材料需客观陈述事实与法律，不得使用威胁、侮辱性语言，或试图影响法官独立判断。若涉及敏感内容（如舆论炒作倾向），法院可能直接拒收。

4. 实务建议

   • 优先通过正式程序提交：如需沟通，建议通过法院诉讼服务中心、在线诉讼平台或庭审环节提出，确保程序合法性。
     
   • 保留提交凭证：通过邮寄或电子系统提交的，需留存寄送回执或提交记录，以备后续核查。
     
   • 及时跟进反馈：若法院未在合理期限内回复，可依法申请复议或向上一级法院申诉。

总结：律师可通过合法途径向法官提交书面材料，但必须严格遵守程序规范与职业道德。若您涉及具体案件需进一步沟通，可直接向我咨询，我将结合案情提供专业操作方案。