公安机关在证明违法行为的轻重时，主要依据违法行为的性质、情节以及社会危害程度等因素进行综合判断，并会收集相关证据来支持其判断。以下从几个方面详细阐述：

一、违法行为的性质

违法行为的性质是判断其轻重的重要基础。例如，同样是违反治安管理行为，但盗窃与故意伤害在性质上截然不同，前者主要侵犯财产权，后者则直接侵犯人身权。公安机关在处理时，会根据违法行为的性质，初步判断其可能的社会危害性和应受处罚的轻重。

二、违法行为的情节

情节是判断违法行为轻重的重要考量因素。情节包括违法行为的手段、方式、时间、地点、对象、次数、数额等。例如，在盗窃行为中，如果盗窃数额较大，或者采用破坏性手段盗窃，或者多次盗窃，那么这些情节都会加重违法行为的严重性。公安机关在调查取证时，会详细记录这些情节，作为判断违法行为轻重的依据。

三、社会危害程度

社会危害程度是判断违法行为轻重的核心标准。社会危害程度越大，违法行为的严重性就越高。公安机关在评估社会危害程度时，会考虑违法行为对公共安全、社会秩序、公民人身财产安全等方面的影响。例如，在公共场所聚众斗殴，不仅扰乱了社会秩序，还可能对公民的人身安全造成威胁，因此其社会危害程度较高，应受处罚也相对较重。

四、证据收集与证明

为了证明违法行为的轻重，公安机关会收集一系列证据，包括但不限于：

1. 现场勘查记录：记录违法行为发生的现场情况，包括时间、地点、环境等，为判断违法行为的性质、情节和社会危害程度提供基础资料。
2. 证人证言：询问目击者或相关人员，获取他们对违法行为的描述和评价，为判断违法行为的轻重提供旁证。
3. 物证：收集与违法行为相关的物品或痕迹，如作案工具、被盗物品等，作为判断违法行为性质和情节的直接证据。
4. 视听资料：如监控录像、录音等，可以直观展示违法行为的发生过程，为判断违法行为的轻重提供有力证据。
5. 鉴定意见：对涉及专业问题的证据进行鉴定，如伤情鉴定、价格鉴定等，为判断违法行为的轻重提供科学依据。

五、具体案例说明

以一起盗窃案件为例，公安机关在调查取证时，发现嫌疑人多次在公共场所盗窃他人财物，且盗窃数额较大。同时，通过现场勘查和监控录像，公安机关还发现嫌疑人在盗窃过程中采用了破坏性手段，如撬锁、剪断电线等。这些情节都表明嫌疑人的违法行为性质恶劣、情节严重、社会危害程度较高。因此，公安机关在认定违法行为轻重时，会将这些因素综合考虑进去，并依法对嫌疑人作出相应的处罚决定。

综上所述，公安机关在证明违法行为的轻重时，会综合考虑违法行为的性质、情节以及社会危害程度等因素，并收集相关证据来支持其判断。如果您对具体案件或法律问题有疑问，可以直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律意见。