结论：在此情况下，家长因孩子打架导致自身抑郁症发作，是否可以起诉申请赔偿，需根据具体情况分析，若能证明抑郁症发作与孩子打架行为存在直接因果关系，且对方存在过错，则有可能获得赔偿；若无法证明直接因果关系或对方无过错，则可能难以获得赔偿。以下从不同角度进行详细分析：

一、法律关系分析

1. 侵权责任构成要件：

   • 过错：需证明对方（即打人孩子的家长或监护人，若孩子为无民事行为能力人或限制民事行为能力人）存在过错，如未尽到监护职责，导致孩子实施了打架行为。
   • 损害结果：家长因孩子打架行为导致抑郁症发作，需有医疗证明等证据支持这一损害结果。
   • 因果关系：必须证明抑郁症发作与孩子打架行为之间存在直接的因果关系，即打架行为是导致抑郁症发作的直接原因。

2. 法律依据：

   • 根据《中华人民共和国民法典》第一千一百六十五条：“行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。”
   • 若孩子为无民事行为能力人或限制民事行为能力人，根据《中华人民共和国民法典》第一千一百八十八条：“无民事行为能力人、限制民事行为能力人造成他人损害的，由监护人承担侵权责任。监护人尽到监护职责的，可以减轻其侵权责任。”

二、可能的情况分析

1. 能证明直接因果关系且对方存在过错：

   • 若家长能提供充分证据，证明抑郁症发作与孩子打架行为之间存在直接因果关系，且对方存在过错（如未尽到监护职责），则家长有权起诉对方，要求赔偿医疗费、精神损害抚慰金等损失。

2. 无法证明直接因果关系或对方无过错：

   • 若家长无法提供充分证据证明抑郁症发作与孩子打架行为之间的直接因果关系，或者对方能证明已尽到监护职责，无过错，则家长可能难以获得赔偿。

三、建议与措施

1. 收集证据：

   • 家长应尽快收集医疗证明、诊断书、病历等证据，证明抑郁症发作与孩子打架行为之间的因果关系。
   • 同时，收集对方存在过错的证据，如监控录像、证人证言等。

2. 咨询专业律师：

   • 在起诉前，家长应咨询专业律师，了解自身权益和诉讼风险，制定合适的诉讼策略。

3. 考虑调解或和解：

   • 在诉讼前或诉讼过程中，家长也可以考虑与对方进行调解或和解，以达成双方都能接受的赔偿方案。

最后，家长因孩子打架导致自身抑郁症发作，是否可以起诉申请赔偿，需根据具体情况分析。若您有进一步的法律问题或需要更详细的法律建议，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律帮助。