结论：打一个嘴巴子被拘留三个月，可能是因为该行为构成了治安管理处罚法中的“殴打他人”或“故意伤害他人身体”的违法行为，且情节较为严重。若您认为处罚不当，可以通过提起行政复议或行政诉讼来维护自己的权益。

详细分析：

1. 拘留三个月的法律依据：

   • 根据《中华人民共和国治安管理处罚法》第四十三条：“殴打他人的，或者故意伤害他人身体的，处五日以上十日以下拘留，并处二百元以上五百元以下罚款；情节较轻的，处五日以下拘留或者五百元以下罚款。有下列情形之一的，处十日以上十五日以下拘留，并处五百元以上一千元以下罚款：（一）结伙殴打、伤害他人的；（二）殴打、伤害残疾人、孕妇、不满十四周岁的人或者六十周岁以上的人的；（三）多次殴打、伤害他人或者一次殴打、伤害多人的。”
   • 在您描述的情况下，虽然只是“打一个嘴巴子”，但如果该行为被认定为情节较为严重，比如造成了对方明显的身体伤害或精神损害，或者存在其他加重情节（如当众殴打、在特殊场合殴打等），那么公安机关可能会根据具体情况，在法律规定的幅度内给予较重的处罚，包括拘留三个月（实际应为十日以上十五日以下，但此处“三个月”可能为用户误解或夸张表述，我们按法律实际规定分析）。不过，若确实存在拘留三个月的情况，那可能是合并了其他处罚措施或者存在特殊情形，需具体查看处罚决定书。

2. 如何给自己上诉（实际为申请行政复议或提起行政诉讼）：

   • 行政复议：如果您认为公安机关的处罚决定不当，可以在收到处罚决定书之日起六十日内向上一级公安机关或者本级人民政府申请行政复议。复议机关将对原处罚决定进行审查，并作出复议决定。
   • 行政诉讼：如果您对行政复议结果不满意，或者选择不申请行政复议，可以在收到处罚决定书之日起六个月内直接向人民法院提起行政诉讼。法院将依法审理案件，并作出判决。

3. 建议与注意事项：

   • 在申请行政复议或提起行政诉讼前，建议您先仔细阅读处罚决定书，了解处罚的具体依据和理由。
   • 收集并保存好相关证据，如现场照片、视频、证人证言等，以支持您的主张。
   • 考虑到法律程序的复杂性和专业性，建议您在申请行政复议或提起行政诉讼前咨询专业律师，以获取更具体的法律建议和帮助。

后续行动：

• 若您确实对处罚决定不服，且认为自己的行为并未构成严重违法或处罚过重，那么您可以按照上述流程申请行政复议或提起行政诉讼。
• 在整个过程中，请保持冷静和理性，依法维护自己的合法权益。

如有任何法律疑问或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询，我会根据您的具体情况提供专业的法律建议。