当用工单位未与劳动者签订劳动合同，并在之后解聘劳动者时，其赔偿问题需结合具体情形来细致分析。以下是从法律依据、赔偿计算、维权途径以及注意事项四个方面为您提供的详细解答：

一、法律依据与责任认定

1. 未签合同的法律后果：

   • 根据《中华人民共和国劳动合同法》第八十二条，用人单位自用工之日起超过一个月不满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，应当向劳动者每月支付二倍的工资。
   • 若满一年未签订书面劳动合同，则视为已订立无固定期限劳动合同，并需支付自用工满一个月的次日至满一年的前一日的二倍工资差额，最长不超过十一个月。

2. 违法解除的判定：

   • 若用工单位无法证明解雇符合《劳动合同法》第三十九条（如严重违纪）或第四十条（如不胜任工作）规定的法定情形，则构成违法解除。

3. 举证责任：

   • 劳动者需提供劳动关系证据，如工资记录、工牌、考勤记录等。
   • 用工单位需证明解雇的合法性，若无法举证，则推定解雇违法。

二、赔偿金额计算方式

1. 双倍工资差额：

   • 适用条件：未签合同且在职超过一个月。
   • 计算方法：月工资×未签月数（最长不超过十一个月）。
   • 示例：月薪5000元，未签8个月，则赔偿为5000×8=40,000元。

2. 经济赔偿金：

   • 适用条件：违法解除劳动关系。
   • 计算方法：月工资×工作年限×2（工作年限不满六个月的，按半个月工资计算；六个月以上不满一年的，按一年计算）。
   • 示例：工作6个月被违法解雇，月薪5000元，则赔偿为5000×0.5×2=5,000元。

3. 代通知金（部分地区适用）：

   • 适用条件：单位未提前30日书面通知解雇。
   • 计算方法：1个月工资。

注：月工资指离职前12个月平均工资，含奖金、津贴等货币性收入。

三、维权途径建议

1. 证据收集：

   • 基础证据：考勤记录、银行流水、工作证、同事证言等。
   • 关键证据：解雇通知书、沟通录音、电子邮件等。

2. 协商谈判：

   • 向用工单位提出书面索赔要求，明确法律依据和计算明细。

3. 劳动仲裁：

   • 时效：离职后一年内申请。
   • 材料：仲裁申请书、证据清单、身份证明等。
   • 优势：程序简便、成本低、裁决具有强制执行力。

4. 诉讼救济：

   • 对仲裁结果不服可向法院起诉，一审普通程序审理期限为6个月。

四、注意事项

1. 时效风险：

   • 双倍工资差额主张存在1年仲裁时效限制，需及时维权。

2. 地区差异：

   • 代通知金在部分省市（如北京、上海）适用于特定情形，需核查当地规定。

3. 社保补缴：

   • 可同时主张补缴工作期间的社会保险费用。

4. 主动离职与经济补偿金：

   • 若员工在未签订劳动合同期间主动离职，通常不享有经济补偿金。
   • 但若因用工单位原因导致员工离职，员工除可要求双倍工资外，还有权要求经济补偿金。

综上所述，用工单位未与劳动者签订劳动合同并解聘劳动者时，需根据具体情况承担法律责任。劳动者应积极维护自身权益，通过合法途径主张赔偿，并注重保留相关证据以备不时之需。