被告追加第三方原告（通常指追加第三人，包括有独立请求权第三人和无独立请求权第三人）对案件的影响主要体现在以下几个方面：
案件复杂性的增加：
- 事实认定：追加第三人往往意味着案件涉及更多的事实和证据。第三人的加入可能带来新的证据材料，需要法院进行更全面的审查和认定，从而增加了事实认定的难度和复杂性。
- 法律关系：第三人的加入可能使原本简单的法律关系变得复杂。例如，在合同纠纷中，如果追加的第三人与原被告之间存在多重合同关系或法律关系，法院需要梳理并明确各方的权利义务关系，这无疑增加了案件的复杂性。
诉讼程序的延长：
- 审理时间：由于案件复杂性的增加，法院可能需要更多的时间来审理案件，包括组织证据交换、进行庭审辩论等。这可能导致案件的审理周期延长，影响当事人的诉讼效率和成本。
- 诉讼成本：对于当事人而言，追加第三人可能意味着需要支付更多的诉讼费用，如第三人的诉讼费、律师费等。同时，由于审理时间的延长，当事人还需要承担更多的时间成本和精力成本。
当事人权利义务的变化：
- 有独立请求权第三人：如果追加的是有独立请求权第三人，该第三人将作为独立的诉讼主体参与诉讼，享有与原被告相同的诉讼权利，并承担相应的诉讼义务。这可能导致原被告之间的权利义务关系发生变化，甚至可能影响案件的最终判决结果。
- 无独立请求权第三人：如果追加的是无独立请求权第三人，虽然该第三人不享有独立的诉讼权利，但其参与诉讼可能对原被告之间的诉讼结果产生影响。例如，无独立请求权第三人可能提供关键证据或提出有利于某一方的观点，从而影响法院的判决。
法院裁判的考量因素增多：
- 全面审查：法院在审理涉及第三人的案件时，需要全面审查各方当事人的主张和证据，确保裁判结果的公正性和合理性。这要求法院在裁判时考虑更多因素，包括第三人的权益、原被告之间的法律关系等。
- 协调处理：在涉及多个当事人的案件中，法院可能需要协调处理各方之间的利益冲突，确保裁判结果能够平衡各方利益，避免引发新的纠纷或矛盾。
针对追加第三人的情况，我给出以下建议：
- 对于原告而言：在决定是否追加第三人时，应充分考虑案件的复杂性和诉讼成本。如果追加第三人有助于查明案件事实、维护自身权益，且诉讼成本可接受，则可以考虑追加；否则，应谨慎考虑。
- 对于被告而言：如果认为追加第三人有助于澄清事实、减轻自身责任或维护自身权益，可以积极提出追加第三人的申请。同时，应做好应对第三人加入后可能带来的诉讼复杂性和成本增加的准备。
- 对于第三人而言：如果被追加为第三人，应积极应诉，了解自身在诉讼中的地位和权利义务，提供有利于自身的证据和观点，以维护自身权益。
在实际操作中，追加第三人需要遵循一定的法律程序和规定。如有具体法律问题或需要进一步的法律帮助，请直接向我咨询。