法院会根据再审申请的具体情况，审查其是否符合法定再审事由，并依法作出相应处理，通常不会直接支持对方随意变更主张性质，而是会围绕再审申请的合法性与合理性进行审查。具体分析如下：

1. 再审程序的性质与审查范围
   再审程序是对已生效判决的特殊救济程序，其审查范围严格限定于原审判决是否存在法定再审事由（如《民事诉讼法》第207条规定的证据伪造、法律适用错误、程序违法等）。若对方在再审中主张“家庭共同财产”，实质是变更了原审的诉讼请求性质（从遗产继承转为共有物分割），法院需首先审查该变更是否符合再审程序的法定条件。若变更主张涉及新的事实或法律关系，且未在原审中提出，法院通常会裁定驳回再审申请，并告知其另行起诉。

2. 诉讼请求变更的合法性判断
   根据《民事诉讼法》及相关司法解释，当事人在诉讼中变更诉讼请求需满足两个条件：

   • 时间限制：需在法庭辩论终结前提出（一审或二审中）；
     
   • 关联性要求：变更后的请求需与原请求基于同一法律关系或事实基础。
     若对方在再审阶段首次提出“家庭共同财产”主张，因再审并非一审或二审的延续，法院一般不会允许其突破程序限制直接变更请求。但若对方能证明原审未主张该请求系因“客观原因无法主张”（如新发现的证据），且该请求与遗产继承存在直接关联（如遗产实为家庭共同财产的一部分），法院可能酌情允许其补充说明，但最终仍会围绕原审判决的合法性进行审查。

3. 法院的可能处理方式

   • 若再审申请不符合法定事由：法院将裁定驳回再审申请，维持原判。对方若坚持主张家庭共同财产，需另行提起共有物分割之诉。
     
   • 若再审申请部分涉及新主张：法院可能仅对原审判决中与遗产继承相关的部分进行审查，对新主张部分不予处理，并告知其另行起诉。例如，若原审判决遗产范围认定错误，法院可纠正遗产范围，但不会直接对家庭共同财产进行分割。
     
   • 若原审判决存在重大错误：如遗产与家庭共同财产混同未区分，法院可能裁定撤销原判、发回重审，并要求原审法院在重审中明确财产性质后再行判决。

建议：若您是本案当事人，需重点审查对方再审申请是否符合法定事由，并准备证据证明原审判决的合法性。若对方主张涉及家庭共同财产，您可主张其再审请求超出原审范围，法院不应支持。具体策略需结合案件细节制定，您可直接向我咨询进一步分析。