犯罪经过法律规定的追诉时效期限后，其法律后果及特殊情况的处理方式如下：

一、一般情况下不予追诉

根据《中华人民共和国刑法》的相关规定，犯罪行为并非无限制地可被追诉，而是受到时效的限制。具体来说，追诉时效的期限依据犯罪所可能判处的最高刑罚来设定：

1. 若法定最高刑为不满五年有期徒刑，追诉时效期限为五年；
2. 若法定最高刑为五年以上不满十年有期徒刑，追诉时效期限为十年；
3. 若法定最高刑为十年以上有期徒刑，追诉时效期限为十五年；
4. 若法定最高刑为无期徒刑或死刑，追诉时效期限为二十年。不过，若二十年后认为必须追诉，需报请最高人民检察院核准。

在一般情况下，一旦犯罪行为超过了上述相应的追诉时效期限，司法机关将不再对其进行刑事追究，案件也将相应终止审理或宣告无罪。

二、特殊情况下不受追诉时效限制

尽管有上述时效规定，但在某些特殊情况下，追诉并不受时效限制，这主要体现在以下两个方面：

1. 司法机关已立案且犯罪嫌疑人逃避侦查或审判：一旦人民检察院、公安机关或国家安全机关立案侦查，或在人民法院受理案件后，犯罪嫌疑人逃避侦查或审判的，其追诉时效将不受限制。这意味着，无论过去多长时间，只要将犯罪嫌疑人抓获，司法机关仍可对其进行追诉。

2. 被害人控告且应立案而未立案：如果被害人在追诉期限内提出控告，而人民法院、人民检察院或公安机关应当立案却未予立案，那么追诉时效同样不受限制。这保护了被害人的合法权益，确保了正义的实现。

三、已追诉后的处理

如果在司法机关未发现追诉时效问题的情况下已经对犯罪嫌疑人进行了追诉，那么在后续阶段发现犯罪已过追诉时效期限时，将根据不同阶段作出相应处理：

1. 侦查阶段：公安机关若发现案件已过追诉时效期限，将不再对犯罪嫌疑人进行侦查，并撤销案件。

2. 审查起诉阶段：人民检察院若发现移送起诉的案件已过追诉时效期限，并且不是必须追诉或经特赦令免除刑罚的，将作出不起诉决定。若案件已交办，则退回原交办的人民检察院。

3. 审判阶段：人民法院若发现案件已过追诉时效期限，并且不是必须追诉或经特赦令免除刑罚的，将裁定终止审理。若案件已交付审判，应建议人民检察院补充侦查或撤回起诉。若人民检察院坚持起诉，人民法院将判决宣告被告人无罪。

综上所述，犯罪经过法律规定的追诉时效期限后，一般不再被追究刑事责任。但需注意，在特定情形下，如司法机关已立案且犯罪嫌疑人逃避侦查或审判，或被害人控告且应立案而未立案时，追诉时效可能不受限制。同时，在已追诉后发现超过追诉时效期限的，司法机关将根据不同阶段作出相应处理。