在民事庭审过程中，如果发现涉嫌刑事犯罪的证据，这确实是一个需要谨慎处理的情况。以下是我为您详细梳理的处理流程和相关法律依据，希望能为您提供清晰的指导。

一、处理方式

1. 中止民事诉讼

   • 当民事案件的审理结果依赖于刑事案件的审理结果，且刑事案件尚未审结时，根据《中华人民共和国民事诉讼法》的相关规定，法院应当裁定中止民事诉讼。这样做的目的是确保民事判决的准确性和公正性，避免与刑事判决产生冲突。

2. 移送公安机关或检察机关

   • 如果在审理民事案件过程中发现了犯罪线索，且该线索不属于人民法院直接受理的刑事案件范围，那么法院应当及时将犯罪线索移送有管辖权的公安机关或检察机关。移送后，由这些机关依法进行侦查和起诉，以追究犯罪嫌疑人的刑事责任。

3. 继续审理（在特定情况下）

   • 并非所有涉及刑事犯罪的民事案件都需要中止或移送。在某些情况下，即使存在相关的刑事案件，但民事案件的审理并不完全依赖于刑事案件的审理结果，或者刑事案件的处理对民事案件的审理影响较小。此时，法院可以根据实际情况决定是否继续审理民事案件，以保护当事人的合法权益。

4. 刑民交叉案件的特殊处理

   • 对于刑民交叉的案件，即同一事实既涉及刑事法律关系又涉及民事法律关系的案件，需要根据具体情况分别处理。原则上，如果刑事案件和民事案件基于同一事实，应先处理刑事案件，待刑事案件审结后再处理民事案件。但如果民事案件的审理不依赖于刑事案件的审理结果，也可以考虑并行审理。

二、法律依据

• 《中华人民共和国民事诉讼法》第一百五十三条第一款第（五）项：规定“本案必须以另一案的审理结果为依据，而另一案尚未审结的”，中止诉讼。
• 《最高人民法院关于在审理经济纠纷案件中涉及经济犯罪嫌疑若干问题的规定》第十一条：规定“人民法院作为经济纠纷受理的案件，经审理认为不属经济纠纷案件而有经济犯罪嫌疑的，应当裁定驳回起诉，将有关材料移送公安机关或检察机关。”

三、注意事项

1. 保障当事人合法权益：在处理刑民交叉案件时，应充分保障当事人的合法权益，确保民事案件的审理不受刑事案件的过度影响。

2. 遵循法定程序：无论是中止诉讼、移送案件还是继续审理，都应严格遵循法定程序，确保司法公正和效率。

3. 加强沟通协调：在处理刑民交叉案件时，法院内部各部门之间以及与公安机关、检察机关等外部机构应加强沟通协调，共同推进案件的妥善处理。

综上所述，当在民事庭审中发现涉嫌刑事犯罪的证据时，应根据具体情况选择合适的处理方式，并严格遵循法定程序和原则，以确保案件的公正、高效处理。希望这些信息能对您有所帮助。如果您还有其他问题或需要进一步的法律咨询，请随时告诉我。