当美容师在服务过程中不小心伤到顾客时，责任的承担问题需要结合具体情况和相关法律法规来综合分析。以下是一个详细且深入的解答：
首先，我们要明确的是，无论是美容院还是美容师，在提供服务时都应当严格遵守相关的法律法规和操作规范，确保消费者的生命健康安全。如果因美容师的操作不当导致顾客受伤，那么根据《中华人民共和国民法典》的相关规定，行为人因过错侵害他人民事权益造成损害的，应当承担侵权责任。
一、美容院的责任
资质与监管责任：美容院作为提供服务的主体，有责任确保其具备相应的资质和条件，并对美容师进行必要的培训和监管。如果美容院在资质审核、培训或监管方面存在疏忽，导致美容师操作不当造成顾客受伤，那么美容院应当承担相应的赔偿责任。
直接责任：如果美容师是在执行美容院安排的工作任务中致顾客受伤，且美容院无法证明其已尽到必要的提示、监管义务，那么根据《中华人民共和国民法典》第一千一百九十一条的规定，用人单位（即美容院）应当承担侵权责任。
二、美容师的责任
个人过错责任：如果美容师在操作过程中存在故意或重大过失，导致顾客受伤，那么美容师个人也应当承担相应的赔偿责任。这通常发生在美容师违反操作规范、未按照培训要求进行操作等情况下。
职务行为与个人行为的区分：如果美容师是在执行美容院安排的工作任务中致顾客受伤，且该行为属于职务行为，那么根据法律规定，赔偿责任通常由美容院承担。但是，如果美容师的行为超出了其职务范围，或者存在故意或重大过失，那么美容师个人也可能需要承担部分或全部责任。
三、具体案例分析
以您提供的案例为例，如果美容师在注射玻尿酸等医疗美容项目中因操作不当导致顾客面部感染并栓塞，且美容院不具备相应资质或美容师不具备实施医疗美容项目资格，那么根据法院的审理和判决，美容院和美容师都可能需要承担赔偿责任。具体责任划分会根据双方的过错程度、行为性质以及相关法律法规的规定来确定。
四、建议与总结
对于顾客：在选择美容服务时，应要求美容机构提供相应的项目资质证明和诊疗方案，并仔细了解服务内容和风险。在接受服务过程中，如感到不适或发现异常情况，应及时与美容师沟通并暂停服务。
对于美容院：应严格遵守相关法律法规和操作规范，确保具备相应的资质和条件，并对美容师进行必要的培训和监管。同时，应建立完善的应急处理机制，以便在发生意外情况时能够及时、有效地处理。
对于美容师：应不断提高自己的专业技能和操作水平，严格遵守操作规范和服务流程。在服务过程中，应保持高度的责任心和敬业精神，确保顾客的生命健康安全。
综上所述，当美容师不小心伤到顾客时，责任的承担问题需要根据具体情况和相关法律法规来综合分析。在大多数情况下，如果美容师是在执行美容院安排的工作任务中致顾客受伤，且美容院无法证明其已尽到必要的提示、监管义务，那么赔偿责任通常由美容院承担。但是，如果美容师存在故意或重大过失，或者其行为超出了职务范围，那么美容师个人也可能需要承担部分或全部责任。